Рівняння і нерівності

Для вирішення різних рівнянь і нерівностей з використанням логарифмів застосовуються наступні формули:

• Перехід від однієї основи до іншої: lоg a(b) = log c(b) / log c(a);
• Як наслідок попереднього варіанту: lоg a(b) = 1 / log b(a).

Для розв’язання нерівностей корисно знати:

• Значення логарифма буде позитивним лише в тому випадку, коли підстава і аргумент одночасно більше або менше одиниці; якщо хоча б одна умова порушена, значення логарифма буде негативним.
• Якщо функція логарифма застосовується до правої та лівої частини нерівності, та підстава логарифма більше одиниці, то знак нерівності зберігається; в іншому випадку він змінюється.

Приклади завдань

Розглянемо кілька варіантів застосування логарифмів і їх властивості. Приклади з рішенням рівнянь:

• 

  Завдання 1. Розв’язати рівняння log 2(2x-1) = 4. Рішення: за визначенням 2х — 1 = 24 , або 2х — 1 = 16, далі 2х = 17 отримуємо х = 8,5. Відповідь: при значенні х = 8,5 рівняння дійсно.

• Завдання 2. Обчислити log 6(30) / log 30(6) — log 6(180) / log5(6). Рішення: приведемо до одного основи 6. Наступним дією розкриваємо дужки і замість логарифма 6 з підстави 6 підставляємо його значення 1. Таким чином, log 6(30) * lоg 6(30) — log 6(180) * log 6(5). Розкладемо числа на прості множники log 6(5*6) * log 6(5*6) — lоg 6(5*6*6) * log 6(5) і замінюємо логарифм 5 з підстави 6 на t. Тоді (t +1) * (t +1) — (t +2) * t. Розкриваємо дужки t2 + t + t +1 — t 2 — 2t. Наводимо подібні члени і отримуємо 1. Відповідь: значення виразу дорівнює 1.

Розглянемо варіант розміщення логарифма в ступені:

• Завдання 3. Обчислити 25^log 5(3). Рішення: в умовах завдання запис аналогічна наступної (5^2)^log5(3) або 5^(2 * log 5(3)). Запишемо по-іншому: 5^log 5(3*2), або квадрат числа в якості аргументу функції можна записати як квадрат самої функції (5^log 5(3))^2. Використовуючи властивості логарифмів, це вираз дорівнює 3^2. Відповідь: в результаті обчислень отримуємо 9.