Що таке бісектриса трикутника в геометрії: як знайти за формулою і які її властивості

Трикутник у геометрії — основна фігура, яку можна розділити на складові. Відрізок прямої лінії, який з’єднує вершину з протилежною стороною, за умови поділу кута навпіл, — це бісектриса трикутника. Так як дана фігура містить 3 кута, відповідно, з кожного можна провести лінію, яка ділить його на рівні компоненти.

Властивості бісектриси

Рівнобічна трикутна фігура характеризується не тільки рівністю сторін, але внутрішні кути також однакові, при цьому вони становлять 60° кожний.

Тому проведена бісектриса одночасно є висотою, медіаною. Вона має не тільки своїми якостями, але і характеристиками висоти, медіани трикутника:

  • ділить протилежні сторони на рівні частини;
  • перпендикулярна до противолежащей сторони;
  • у точці перетину 3 ліній кожен відрізок ділиться у співвідношенні 2:1, рахуючи від вершини (властивість медіани);
  • з центру перетину можна одночасно провести окружність всередині і навколо фігури;
  • лінії, ділять на рівні частини зовнішні кути правильного трикутника, паралельні протилежно розташованих сторонам фігури;
  • всі 3 відрізки, проведені з вершин, рівні по довжині.

Найбільш проста формула, що визначає, як знайти биссектрису трикутника, виражається через радіус вписаного (r) або описаної (R) кола:

  • l=3r;
  • l=3R/2.

Характеристика внутрішніх ліній

Основна властивість бісектриси трикутника з рівними боковинами: відрізок, опущений з вершини, одночасно є медіаною, заввишки.

При цьому, крім поділу кута на 2 рівні частини, лінія характеризується наступними якостями:

  • ділить нижню підставу навпіл;
  • служить перпендикуляром до противолежащей сторони;
  • відрізок променя, що розділяє зовнішній кут вершини з рівними боковинами, паралельний основи.

Важливо! Бісектриси рівних кутів біля основи також рівні між собою по довжині.

При цьому вірно зворотне твердження: коли 2 бісектриси рівні між собою, то трикутник вважається рівнобедреним.

Якщо вершина містить 90° (прямий кут), то відрізки, опущені на катети, перетинаються під 45°. У цьому випадку визначити розмір шуканого відрізка допомагає теорема Піфагора.

Приклад

У трикутнику АВС вершина А містить 90°. Відрізок ПЕКЛО служить заввишки, бісектрисою і медіаною одночасно. Утворені 2 прямокутні тристоронні фігури: АВД і АСД, у яких дорівнюють підстави (ВД=СД). Потрібно знайти довжину відрізка ПЕКЛО.

По теоремі Піфагора АД2 = АВ2-ВД2. Звідси АД = √АВ2-ВД2.

Співвідношення зі сторонами трикутника

Слово, в перекладі з латинської мови означає «перетин впоперек». Чим відрізняється бісектриса від інших головних і другорядних відрізків трикутної фігури, було відомо ще Архімеду, який у своїх працях активно використовував її властивості для визначення сторін багатокутників. При цьому кількість сторін повинна бути кратною трьом. Класична теорема про бісектрисі свідчить, що лінія розділяє протилежну сторону на 2 відрізки, ставлення яких один до одного таке ж, як співвідношення двох дотичних до основи сторін.

Приклад

Дано трикутник АВС. З вершини А проведена бісектриса ПЕКЛО, що розділяє сторону ВС на 2 відрізки (ДЧ і ДС). Сенс теореми зводиться до рівності декількох величин: ВД/АВ=СД/АС і ВД/ДС=АВ/АС. Краще зрозуміти формулу допомагає фото трикутника з проведеною лінією.

Характеристика ліній:

  • будь-бісектриса, випущена з вершини неправильного трикутника, розташована між медіаною і висотою, що виходить з цього ж місця;
  • всі точки, розташовані на відрізку, віддалені від сторін з боків вершини на однакову відстань;
  • промені, що поділяють навпіл зовнішній і внутрішній кут трикутної фігури, перпендикулярні між собою;
  • всі відрізки, ділять на рівні частини внутрішні кути, перетинаються в строго певній точці, яка є центром вписаного в цю фігуру кола;
  • якщо дві бісектриси рівні по довжині, то фігура – равнобедренная, якщо всі однакового розміру, трикутник – правильний.

Способи побудови

Знаючи, що таке бісектриса, легко визначити розташування відрізка у трикутної фігури. Для побудови застосовується кілька способів:

  1. Відомий кут, з якого виходить пряма, делящая його на рівні сегменти. Значення ділиться навпіл. На малюнку з допомогою транспортира будується потрібний відрізок.
  2. Якщо параметри кута невідомі, його вимірюють транспортиром, ділять навпіл, потім проводять потрібну лінію.
  3. Оригінальний спосіб побудувати потрібний відрізок за допомогою олівця, лінійки і циркуля. З будь-якої вершини проводиться коло довільного радіуса. Головне, що величина повинна бути менше, ніж прилегла сторона. Місце перетину з кожною стороною вважається центром для ще двох кіл з таким же кроком циркуля. Намалювати ще два кола, що перетинаються між собою два рази. Через отримані точки і вершину під лінійку проводиться пряма, яка і є справжня бісектриса внутрішнього кута.
  4. Побудувати трикутник за відомій довжині трьох відрізків (АВ, ВС, АС) можна за допомогою лінійки і циркуля. На довільній прямій позначити сегмент, рівний АВ. З точки А провести окружність з кроком циркуля рівним АС, а потім аналогічно з точки О провести окружність з кроком ВС. Точка перетину – вершина шуканої трикутної фігури (С), в якій легко визначаються бісектриси, враховуючи їх характеристики.

Важливо! Якщо відомі лише розміри бісектрис, то побудувати за даними параметрами можливо нескінченна кількість подібних фігур.

Корисне відео

Підіб’ємо підсумки

Знаючи значення і характеристики головних ліній у трикутної фігури, можна вирішувати багато завдань, визначати величину кутів, довжину, вивчати співвідношення сторін.