Загальне визначення та властивості логарифмів, основні формули та логарифмічні функції, приклади рішення

По мірі розвитку суспільства, ускладнення виробництва розвивалася і математика. Рух від простого до складного. Від звичайного обліку методом додавання і віднімання, при їх багаторазовому повторенні, прийшли до поняття множення і ділення. Скорочення багаторазово повторюваної операції множення стало поняттям зведення в ступінь. Перші таблиці залежності чисел від підстави і зведення числа у ступінь були складені ще у VIII столітті індійським математиком Варасена. З них і можна відраховувати час виникнення логарифмів.

Історичний нарис

Відродження Європи в XVI столітті і стимулювало розвиток механіки. Требовался великий обсяг обчислень, пов’язаних з множенням і діленням багатозначних чисел. Стародавні таблиці надали велику послугу. Вони дозволяли замінювати складні операції на більш прості – додавання і віднімання. Великим кроком вперед стала робота математика Міхаеля Штіфель, опублікована в 1544 році, в якій він реалізував ідею багатьох математиків. Що дозволило використовувати таблиці не тільки для ступенів у вигляді простих чисел, але і для довільних раціональних.

В 1614 році шотландець Джон не пер, розвиваючи ці ідеї, вперше ввів новий термін «логарифм числа». Були складені нові складні таблиці для розрахунку логарифмів синусів і косинусів, а також тангенсів. Це сильно скоротило працю астрономів.

Стали з’являтися нові таблиці, які успішно використовувалися вченими протягом трьох століть. Минуло чимало часу, перш ніж нова операція в алгебрі придбала свій закінчений вигляд. Було дано визначення логарифма та його властивості були вивчені.

Тільки в XX столітті з появою калькулятора або комп’ютера, людство відмовилося від стародавніх таблиць, успішно працювали впродовж XIII століть.

Визначення логарифма

Сьогодні ми називаємо логарифмом b за основою a число x, яке є ступенем числа а, щоб отримати число b. У вигляді формули записується: x = log a(b).

Наприклад, log 3(9) буде дорівнює 2. Це очевидно, якщо слідувати визначенням. Якщо 3 звести до степеня 2, то отримаємо 9.

Так, сформульоване визначення ставить лише одне обмеження, числа a і b повинні бути речовими.

Різновиди логарифмів

Класичне визначення носить назву речовинний логарифм і фактично є рішенням рівняння ax = b. Варіант a = 1 є прикордонним і не представляє інтересу. Увага: 1 у будь-якого ступеня дорівнює 1.

Дійсне значення логарифма визначено тільки при основі і аргументі більше 0, при цьому основа не повинна дорівнювати 1.

Особливе місце в математиці відіграють логарифми, які будуть називатися залежно від величини їх заснування:

  • Двійкові з основою a = 2, знайшли своє застосування у багатьох розділах дискретної математики, інформатики, а також теорії інформації; записуються як lb (b).

  • Десяткові з основою a = 10; записуються як lg (b).
  • Натуральні з основою a = e, де математична константа e = 2,71828 — ірраціональне і трансцендентне число, зване Постійна Ейлера; записуються як ln (b).

Правила і обмеження

Основним властивістю логарифмів є правило: логарифм добутку дорівнює логарифмічної сумі. log abp = lоg a(b) + log a(p).

Як варіант цього твердження буде: log(b/p) = lоg з(b) — log(p), функція приватного дорівнює різниці функцій.

З попередніх двох правил легко видно, що: lоg a(bp) = p * log a(b).

Серед інших властивостей можна виділити:

  • Правило тотожності, коли aloga(b) = b, наслідком цього правила є наступне твердження: якщо aloga(b) = aloga(c), b = c.

  • Чудові значення відображені у двох формулах: логарифм одиниці завжди дорівнює нулю log a(1) = 0 і логарифм числа, рівного основи, дорівнює одиниці log a(a) = 1.
  • При використанні від’ємних чисел можна застосувати формулу, справедливу для модуля чисел: log c|ab| = log c|a| + log c|b|.

Зауваження. Не треба робити поширену помилку — логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів.

Як знайти логарифм

Багато століть операція пошуку логарифма була досить трудомістким завданням. Математики користувалися відомою формулою логарифмічної теорії розкладання на багаточлен:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — ( x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*((x^n)/n), де n — натуральне число, більше 1, що визначає точність обчислень.

Логарифми з іншими підставами обчислювали, використовуючи теорему про перехід від однієї основи до іншої і властивості логарифма твори.

Так як цей спосіб дуже трудомісткий і при вирішенні практичних завдань важкоздійсненним, то використовували заздалегідь складені таблиці логарифмів, що значно прискорювало всю роботу.

У деяких випадках використовували спеціально складені графіки логарифмів, що давало меншу точність, але значно прискорювало пошук потрібного значення. Крива функції y = log a(x), побудована з кількох точок, що дозволяє за допомогою звичайної лінійки знаходити значення функції в будь-якій іншій точці. Інженери тривалий час для цих цілей використовували так звану міліметровий папір.

У XVII столітті з’явилися перші допоміжні аналогові обчислювальні умови, що до XIX століття набули закінченого вигляду. Найбільш вдале пристрій отримало назву логарифмічна лінійка. При всій простоті пристрою, її поява значно прискорило процес всіх інженерних розрахунків, і це важко переоцінити. В даний час вже мало хто знайомий з цим пристроєм.

Поява калькуляторів і комп’ютерів зробило безглуздим використання будь-яких інших пристроїв.

Рівняння і нерівності

Для вирішення різних рівнянь і нерівностей з використанням логарифмів застосовуються наступні формули:

  • Перехід від однієї основи до іншої: lоg a(b) = log c(b) / log c(a);
  • Як наслідок попереднього варіанту: lоg a(b) = 1 / log b(a).

Для розв’язання нерівностей корисно знати:

  • Значення логарифма буде позитивним лише в тому випадку, коли підстава і аргумент одночасно більше або менше одиниці; якщо хоча б одна умова порушена, значення логарифма буде негативним.
  • Якщо функція логарифма застосовується до правої та лівої частини нерівності, та підстава логарифма більше одиниці, то знак нерівності зберігається; в іншому випадку він змінюється.

Приклади завдань

Розглянемо кілька варіантів застосування логарифмів і їх властивості. Приклади з рішенням рівнянь:

  • Завдання 1. Розв’язати рівняння log 2(2x-1) = 4. Рішення: за визначенням 2х — 1 = 24 , або 2х — 1 = 16, далі 2х = 17 отримуємо х = 8,5. Відповідь: при значенні х = 8,5 рівняння дійсно.

  • Завдання 2. Обчислити log 6(30) / log 30(6) — log 6(180) / log5(6). Рішення: приведемо до одного основи 6. Наступним дією розкриваємо дужки і замість логарифма 6 з підстави 6 підставляємо його значення 1. Таким чином, log 6(30) * lоg 6(30) — log 6(180) * log 6(5). Розкладемо числа на прості множники log 6(5*6) * log 6(5*6) — lоg 6(5*6*6) * log 6(5) і замінюємо логарифм 5 з підстави 6 на t. Тоді (t +1) * (t +1) — (t +2) * t. Розкриваємо дужки t2 + t + t +1 — t 2 — 2t. Наводимо подібні члени і отримуємо 1. Відповідь: значення виразу дорівнює 1.

Розглянемо варіант розміщення логарифма в ступені:

  • Завдання 3. Обчислити 25^log 5(3). Рішення: в умовах завдання запис аналогічна наступної (5^2)^log5(3) або 5^(2 * log 5(3)). Запишемо по-іншому: 5^log 5(3*2), або квадрат числа в якості аргументу функції можна записати як квадрат самої функції (5^log 5(3))^2. Використовуючи властивості логарифмів, це вираз дорівнює 3^2. Відповідь: в результаті обчислень отримуємо 9.

Практичне застосування

Будучи виключно математичним інструментом, здається далеким від реального життя, що логарифм несподівано придбав велике значення для опису об’єктів реального світу. Важко знайти науку, де його не застосовують. Це повною мірою стосується не тільки природним, але і гуманітарних галузей знань.

Логарифмічні залежності

Наведемо кілька прикладів числових залежностей:

  • Кількість простих чисел в інтервалі від 1 до n приблизно дорівнює n / ln (n).

  • Для пошуку k-го простого числа можна користуватися формулою k * ln (k).
  • Логарифмічний розподіл часто використовується для оцінки імовірнісних подій в генетиці та фізики.
  • В інформатиці відомо, що для збереження в пам’яті комп’ютера натурального числа N буде потрібно log 2(N) + 1 біт пам’яті.

Механіка і фізика

Історично механіка і фізика завжди розвивалися з використанням математичних методів дослідження і одночасно служили стимулом для розвитку математики, в тому числі логарифмів. Теорія більшості законів фізики написана мовою математики. Наведемо лише два приклади опису фізичних законів з використанням логарифма.

Розв’язувати задачу розрахунку такої складної величини, як швидкість ракети можна, застосовуючи формулу Ціолковського, яка поклала початок теорії освоєння космосу:

V = I * ln (M1/M2), де

  • V – кінцева швидкість літального апарату.
  • I – питома імпульс двигуна.
  • M 1 – початкова маса ракети.
  • M 2 – кінцева маса.

Інший важливий приклад — це використання у формулі іншого великого вченого Макса Планка, яка служить для оцінки рівноважного стану в термодинаміці.

S = k * ln (Ω), де

  • S – термодинамічна властивість.
  • k – постійна Больцмана.
  • Ω – статистичний вага різних станів.

Хімія

Менш очевидним буде використання формул в хімії, що містять відношення логарифмів. Наведемо теж тільки два приклади:

  • Рівняння Нернста, умова окислювально-відновного потенціалу середовища по відношенню до активності речовин і константою рівноваги.
  • Розрахунок таких констант, як показник автопролиза і кислотність розчину теж не обходяться без нашої функції.

Психологія і біологія

І вже зовсім незрозуміло, при чому тут психологія. Виявляється, сила відчуття добре описується цією функцією як зворотне відношення значення інтенсивності подразника до нижньому значенню інтенсивності.

Після вищенаведених прикладів уже не дивує, що і в біології широко використовується тема логарифмів. Про біологічні форми, відповідні логарифмічним спіралях, можна писати цілі томи.

Інші області

Здається, неможливо існування світу без зв’язку з цією функцією, і вона править усіма законами. Особливо, коли закони природи пов’язані з геометричною прогресією. Варто звернутися до сайту МатПрофи, і таких прикладів знайдеться безліч у наступних сферах діяльності:

  • Теорії акустики.

  • Радіотехніці та електрозв’язку.
  • Астрономії.
  • Сейсмології.
  • Оптиці.
  • Фотографії.
  • Сільському господарстві.
  • Теорії управління.

Список може бути нескінченним. Освоївши основні закономірності цієї функції, можна поринути у світ нескінченної мудрості.