Комбінаторика основні поняття і формули, задачі з рішенням для початківців, основи комбінаторики для чайників, властивості сполучення з повтореннями

Комбінаторика — розділ математики. Основні поняття і формули комбінаторики як науки застосовуються у всіх сферах життя.

Не дивно, що вона включена в програму 11 класу, а також на вступні випробування у багатьох ВУЗах РФ. Її основи лежать в прикладному мистецтві багатьох сфер діяльності людини.

Її історія налічує більше 6 століть. Перші комбінаторні задачі з’явилися в працях філософів і математиків Середньовіччя.

Представники цього наукового світу намагалися знайти методи вирішення таких завдань, їх базові правила і поняття, затвердити унікальні формули і рівняння для тих, хто ще не зустрічався з ними. Така інформація в наш час називається інформацією «для чайників».

Спробуємо розібратися в аспектах цієї області науки: які елементи, властивості, правила, методи і основне її застосування в нашому житті? Звичайно, всю область в одній статті неможливо охопити. Тому нижче буде представлено все саме основне.

Що таке комбінаторика в математиці

Суть цього терміну дають книги минулих років: це розділ математики, що займається операціями з безліччю елементів.

В інтернеті є підручники з інформатики та математики для дітей, школярів, збірники матеріалів і завдань для початківців, де в доступному вигляді пояснена «цікава» комбінаторика. Потрібно твердо з’ясувати, як вирішувати подібні завдання.

У молодших класах задачі на цю тему вирішують на додаткових гуртках, а в школах з поглибленим вивченням математики — на основних уроках. До того ж, задачі з комбінаторики включені до олімпіади всіх рівнів.

Основні поняття

Їх декілька:

  1. Елемент – будь-який об’єкт або явище, що входить в шукане безліч.
  2. Поєднання – підмножини, що знаходяться у довільному порядку в вихідній множині.
  3. Перестановка – елементи в множині знаходяться в строго визначеному порядку.
  4. Розміщення – впорядковані підмножини в вихідній множині.

Правило добутку

Є одним з основних правил при вирішенні таких завдань і звучить так:

При виборі елемента А з n способів і виборі елемента з m способів вірно твердження, що вибрати пару А і В одночасно можна n*m способами.

Розглянемо на конкретних прикладах.

Завдання №1.

У коробці лежить 2 м’ячі і 6 скакалок. Скільки існує способів дістати 1 м’яч і 1 скакалку?

Відповідь проста: 2 * 6 = 12.

Завдання №2.

Є 1 кубик, 2 кульки, 3 квітки і 4 цукерки. Скількома способами можна витягнути кубик, кулька, квітка і цукерку?

Рішення аналогічно: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Причому ліву частину можна записати набагато простіше: 4!

! в даному випадку не є знаком пунктуації, а факториалом. За допомогою нього можна обчислити більш складні варіанти і вирішувати важкі завдання (існують різні формули, але про це пізніше).

Завдання №3.

Скільки двозначних чисел можна скласти з 2 цифр?

Відповідь: 2! = 2.

Завдання №4.

Скільки десятизначных чисел можна скласти з 10 цифр?

10! = 3628800.

Правило суми

Теж є базовим правилом комбінаторики.

Якщо можна вибрати n разів, а В — m разів, то А або В можна вибрати (n + m) разів.

Завдання №5.

У коробці лежать 5 червоних, 3 жовтих, 7 зелених, 9 чорних олівців. Скільки є способів витягнути 1 будь-олівець?

Відповідь: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Сполучення з повтореннями та без повторень

Під цим терміном розуміють комбінації в довільному порядку з безлічі n по m елементів.

Число комбінацій дорівнює кількості таких комбінацій.

Завдання №6.

У коробці знаходиться 4 різних фрукта. Скількома способами можна дістати одночасно 2 різних фрукта?

Рішення просте:

Де 4! – комбінація з 4 елементів.

З повтореннями трохи складніше, комбінації вважаються за такою формулою:

Завдання №7.

Візьмемо той самий випадок, але за умови, що один фрукт повертається в коробку.

У цьому випадку:

Розміщення з повтореннями та без повторень

Під цим визначенням розуміють набір m елементів з множини n елементів.

Задача №8.

З 3 цифр треба вибрати 2, щоб виходили різні двозначні числа. Скільки варіантів?

Відповідь проста:

А як же бути з повтореннями? Тут кожен елемент може розміщуватися декілька разів! У такому разі загальна формула буде виглядати наступним чином:

Задача №9.

З 12 літер латинського алфавіту та 10 цифр натурального ряду треба знайти всі варіанти складання автомобільного коду регіону.

Рішення:

Перестановки з повтореннями та без повторень

Під цим терміном розуміють всі можливі комбінації з n елементного безлічі.

Завдання №10.

Скільки можливих п’ятизначних чисел можна скласти з 5цифр? А шестизначних з 6 цифр? Семизначних з 7 цифр?

Рішення, згідно з вищенаведеною формулою, наступні:

5! = 120;

6! = 720;

7! = 5040.

А як же бути з повтореннями? Якщо у такій безлічі є однакові за своєю значимістю елементи, то перестановок буде менше!

Завдання №11.

У коробці є 3 однакових олівця і одна ручка. Скільки перестановок можна зробити?

Відповідь проста: 4! / (3! * 1!) = 4.

Комбінаторні задачі з рішеннями

Приклади всіх можливих типів завдань з рішеннями були дані вище. Тут спробуємо розібратися з більш складними випадками, що зустрічаються в нашому житті.

Типи завдань Потрібно знайти Методи рішення
Магічний квадрат Фігура, в якій сума чисел у рядках і стовпцях повинна бути однакова (його різновид – латинський квадрат). Рекурентні співвідношення. Вирішується подібна ж завдання, але з набагато меншим безліччю елементів за відомими правилами і формулами.
Завдання розміщення Стандартна виробнича завдання (наприклад, в клаптиковій техніці) — знайти можливі способи розкладання кількості продуктів в комірки в певному порядку. Включення і виключення. Як правило, застосовується при доказі різних виразів.
Задачі про торговців Суть — знайти всі можливі шляхи проходження людей з пункту А в пункт Ст. Траєкторії. Для цього виду завдань характерно геометричне побудова можливих способів вирішення.

Висновок

Варто вивчати цю науку, оскільки в століття швидкої модернізації технологій потрібні фахівці, здатні надати різні вирішення тих чи інших практичних завдань.