Як розкласти на множники квадратний тричлен: приклади застосування формули

Розкладання многочленів для отримання твори іноді здається заплутаним. Але це не так складно, якщо розібратися в процесі покроково. У статті докладно розказано, як розкласти на множники квадратний тричлен.

Поняття і визначення

Багатьом незрозуміло, як розкласти на множники квадратний тричлен, і для чого це робиться. Спочатку може здатися, що це марне заняття. Але в математиці нічого не робиться просто так. Перетворення потрібно для спрощення виразу та зручності обчислення.

Многочлен, що має вигляд – ax2+bx+c, називається квадратним трехчленом. Доданок «a» має бути негативним або позитивним. На практиці це вираз називається квадратним рівнянням. Тому іноді говорять і по-іншому: як розкласти квадратне рівняння.

Цікаво! Квадратним многочлен називають із-за самої його великою мірою – квадрата. А трехчленом — через 3-х складових доданків.

Деякі інші види многочленів:

  • лінійний двучлен (6x+8);
  • кубічний четырехчлен (x3+4×2-2x+9).

Розкладання квадратного тричлена на множники

Спочатку вираз прирівнюється до нуля, потім потрібно знайти значення коренів x1 і x2. Коріння може не бути, може бути один або два кореня. Наявність коренів визначається за дискриминанту. Його формулу треба знати напам’ять: D=b2-4ac.

Якщо результат D від’ємний, коренів немає. Якщо позитивний – два кореня. Якщо в результаті вийшов нуль – корінь один. Коріння теж вираховуються за формулою.

Якщо при обчисленні дискримінанта виходить нуль, можна застосовувати будь-яку з формул. На практиці формула просто скорочується: -b / 2a.

Формули для різних значень дискримінанта розрізняються.

Якщо D позитивний:

Якщо D дорівнює нулю:

a(x-x1)2

Якщо вираз негативне, вважати нічого не потрібно.

Онлайн калькулятори

В інтернеті є онлайн калькулятор. З його допомогою можна виконати розкладання на множники. На деяких ресурсах надається можливість переглянути рішення покроково. Такі сервіси допомагають краще зрозуміти тему, але потрібно добре постаратися вникнути.

Якщо тема зрозуміла, рекомендується використовувати онлайн калькулятор для перевірки рішення.

Корисне відео: Розкладання квадратного тричлена на множники

Приклади

Пропонуємо переглянути прості приклади, як розкласти квадратне рівняння на множники.

Приклад 1

Тут наочно показано, що в результаті вийде два x, тому що D позитивний. Їх і потрібно підставити в формулу. Якщо коріння вийшли негативні, знак у формулі змінюється на протилежний.

Нам відома формула розкладання квадратного тричлена на множники: a(x-x1)(x-x2). Ставимо значення в дужки: (x+3)(x+2/3). Перед доданком в ступені немає числа. Це означає, що там одиниця, вона опускається.

Приклад 2

Цей приклад наочно показує, як розв’язувати рівняння має один корінь.

Підставляємо отримане значення:

9(x-1/3)2.

Приклад 3

Дано: 5×2+3x+7

Спочатку обчислимо дискриминант, як у попередніх випадках.

5×2+3x+7=0

D=b2-4ac

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Дискриминант негативний, значить, коренів немає.

Після отримання результату варто розкрити дужки і перевірити результат. Повинен з’явитися вихідний тричлен.

Альтернативний спосіб вирішення

Деякі люди так і не змогли подружитися з дискриминантом. Можна ще одним способом провести розкладання квадратного тричлена на множники. Для зручності спосіб показаний на прикладі.

Дано: x2+3x-10

Ми знаємо, що повинні вийти 2 дужки: (_)(_). Коли вираз має такий вигляд: x2+bx+c, на початку кожної дужки ставимо x: (x_)(x_). Два числа – твір, що дає «c», тобто в цьому випадку -10. Дізнатися, які це числа, можна тільки методом підбору. Підставлені числа повинні відповідати залишився доданку.

Наприклад, множення таких чисел дає -10:

  • -1, 10;
  • -10, 1;
  • -5, 2;
  • -2, 5.

Далі виконуємо підбір і дивимося, щоб вийшло вираз, який було спочатку:

  1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Немає.
  2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Немає.
  3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Немає.
  4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Підходить.

Отже, перетворення виразу x2+3x-10 виглядає так: (x-2)(x+5).

Важливо! Варто уважно слідкувати за тим, щоб не переплутати знаки.

Розкладання складного тричлена

Якщо «a» більше одиниці, починаються складності. Але все не так важко, як здається.

Щоб виконати розкладання на множники, треба спочатку подивитися, можливо щось винести за дужку.

Наприклад, дано вираз: 3×2+9x-30. Тут виноситься за дужку число 3:

3(x2+3x-10). У результаті виходить вже відомий тричлен. Відповідь виглядає так: 3(x-2)(x+5)

Як розкладати, якщо доданок, яке знаходиться у квадраті негативне? В даному випадку за дужку виноситься число -1. Наприклад: -x2-10x-8. Після вираз буде виглядати так:

(-1)(x2+6x+9)

Схема мало відрізняється від попередньої. Є лише кілька нових моментів. Припустимо, дано вираз: 2×2+7x+3. Відповідь також записується у 2-х дужках, які потрібно заповнити (_)(_). У 2-ю дужка записується x, а в 1-ю те, що залишилося. Це виглядає так: (2x_)(x_). В іншому повторюється попередня схема.

Число 3 дають числа:

  • -1, -3;
  • -3, -1;
  • 3, 1;
  • 1, 3.

Розв’язуємо рівняння, підставляючи дані числа. Підходить останній варіант. Отже, перетворення виразу 2×2+7x+3 виглядає так: (2x+1)(x+3).

Інші випадки

Перетворити вираз вийде не завжди. При другому способі рішення рівняння не потрібно. Але можливість перетворення доданків у твір перевіряється тільки через дискриминант.

Варто потренуватися вирішувати квадратні рівняння, щоб при використанні формул не виникало труднощів.

Корисне відео: розкладання тричлена на множники

Висновок

Користуватися можна будь-яким способом. Але краще обидва відпрацювати до автоматизму. Також навчитись добре вирішувати квадратні рівняння і розкладати многочлени на множники потрібно тим, хто збирається пов’язати своє життя з математикою. На цьому будуються всі наступні математичні теми.