Правильна чотирикутна призма: формули обєму та площі поверхні, обчислення окремих елементів фігури

У шкільній програмі з курсу стереометрії вивчення об’ємних фігур зазвичай починається з простого геометричного тіла — багатогранника призми. Роль її підстав виконують 2 рівних багатокутника, що лежать у паралельних площинах. Приватним випадком є правильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакових правильних чотирикутника, до яких перпендикулярні бокові сторони, які мають форму паралелограмів (або прямокутників, якщо призма не похила).

Як виглядає призма

Правильної чотирикутної призмою називається шестигранник, в основі якого знаходяться 2 квадрата, а бічні грані представлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури — прямий паралелепіпед.

Малюнок, на якому зображена чотирикутна призма, показаний нижче.

На зображенні можна побачити найважливіші елементи, з яких складається геометричне тіло. До них прийнято відносити:

  1. Основи призми — квадрати LMNO і L₁M₁N₁O₁.

  2. Бічні грані — прямокутники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O і MM₁N₁N, розташовані під прямим кутом до таких підстав.
  3. Бічні ребра — відрізки, розташовані на стику між двома бічними гранями: M₁M, N₁N, O₁O і L₁L. Також виконують роль висоти (оскільки лежать в паралельної підстав площині). У призмі бічні ребра завжди рівні між собою — це одне з найважливіших властивостей цього геометричного тіла.
  4. Діагоналі, які, в свою чергу, поділяються ще на 3 категорії. До них відноситься 4 діагоналі підстави (MO, N₁L₁), 8 діагоналей бічних граней (ML₁, O₁L) і 4 діагоналі призми, початку і кінці яких є вершинами 2 різних підстав і бічних сторін (MO₁, N₁L).

Іноді в задачах геометрії можна зустріти поняття перерізу. Визначення звучатиме так: перетин — це всі точки об’ємного тіла, належать січної площини. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональне переріз (максимальна кількість перетинів, яких можна побудувати — 2), що проходить через 2 ребра і діагоналі основи.

Якщо ж перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні засад, ні бічним граням, в результаті виходить усічена призма.

Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини і формули. Частина з них відома з курсу планіметрії (наприклад, для знаходження площі основи призми досить згадати формулу площі квадрата).

Площа поверхні та об’єм

Щоб визначити об’єм призми за формулою, необхідно знати площа її основи і висоту:

V = Ѕосн·h

Так як основою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a, можна записати формулу у більш детальному вигляді:

V = a2·h

Якщо мова йде про кубі — правильної призми з рівною довжиною, шириною і висотою, об’єм обчислюється так:

V = a3

Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити собі її розгортку.

З креслення видно, що бічна поверхня складена з 4 рівних прямокутників. Її площа обчислюється як добуток периметра основи на висоту фігури:

Ѕбок = Росн·h

З урахуванням того, що периметр квадрата дорівнює P = 4a, формула приймає вигляд:

Ѕбок = 4a·h

Для куба:

Ѕбок = 4a 2

Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:

Ѕполн = Ѕбок + 2Ѕосн

Стосовно до правильної чотирикутної призми формула має вигляд:

Ѕполн = 4a·h + 2a2

Для площі поверхні куба:

Ѕполн = 6a2

Знаючи об’єм або площа поверхні, можна обчислити окремі елементи геометричного тіла.

Знаходження елементів призми

Часто зустрічаються задачі, в яких подано обсяг або відома величина площі бічної поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи або висоту. У таких випадках формули можна вивести:

  • довжина сторони підстави: a = Ѕбок / 4h = √(V / h);
  • довжина висоти або бічного ребра h = Ѕбок / 4a = V / a2;
  • площа підстави: Ѕосн = V / h;
  • площа бічної грані: Ѕбок. гр = Ѕбок / 4.

Щоб визначити, яку площу має діагональне розтин, необхідно знати довжину діагоналі і висоту фігури. Для квадрата d = a√2. З цього випливає:

Ѕдиаг = ah√2

Для обчислення діагоналі призми використовується формула:

dприз = √(2a2 + h2)

Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.

Приклади завдань з рішеннями

Ось кілька завдань, що зустрічаються в державних підсумкових іспитах з математики.

Завдання 1.

В коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 див. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною підстави в 2 рази більше?

Рішення.

Слід міркувати таким чином. Кількість піску в першій і другій ємності не змінювалася, тобто його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину підстави за a. У такому разі для першої коробки об’єм речовини складе:

V₁ = ha2 = 10a2

Для другої коробки довжина основи становить 2a, але невідома висота рівня піску:

V₂ = h (2a)2 = 4ha2

Оскільки V₁ = V₂, можна прирівняти вирази:

10a2 = 4ha2

Після скорочення обох частин рівняння на a2 виходить:

10 = 4h

У результаті новий рівень піску становитиме h = 10 / 4 = 2,5 див.

Завдання 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма. Відомо, що BD = AB₁ = 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.

Рішення.

Щоб було простіше зрозуміти, які саме елементи відомі, можна зобразити фігуру.

Оскільки мова йде про правильну призму, можна зробити висновок, що в основі знаходиться квадрат з діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, рівного підстави. Виходить, що всі три виміри — довжина, ширина і висота — рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.

Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площа повної поверхні знаходиться за формулою куба:

Ѕполн = 6a2 = 6·62 = 216

Завдання 3.

В кімнаті проводиться ремонт. Відомо, що її стать має форму квадрата з площею 9 м2. Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м2 коштує 50 рублів?

Рішення.

Оскільки підлога і стеля є квадратами, тобто правильними чотирикутниками, і стіни її перпендикулярні горизонтальних поверхнях, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічній поверхні.

Довжина кімнати складає a = √9 = 3 м.

Шпалерами буде обклеєна площа Ѕбок = 4·3·2,5 = 30 м2.

Найменша вартість шпалер для цієї кімнати складе 50·30 = 1500 рублів.

Таким чином, для вирішення завдань на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу і периметр квадрата і прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об’єму та площі поверхні.

Як знайти площу куба