У шкільній програмі з курсу стереометрії вивчення об’ємних фігур зазвичай починається з простого геометричного тіла — багатогранника призми. Роль її підстав виконують 2 рівних багатокутника, що лежать у паралельних площинах. Приватним випадком є правильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакових правильних чотирикутника, до яких перпендикулярні бокові сторони, які мають форму паралелограмів (або прямокутників, якщо призма не похила).
Як виглядає призма
Правильної чотирикутної призмою називається шестигранник, в основі якого знаходяться 2 квадрата, а бічні грані представлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури — прямий паралелепіпед.
Малюнок, на якому зображена чотирикутна призма, показаний нижче.
На зображенні можна побачити найважливіші елементи, з яких складається геометричне тіло. До них прийнято відносити:
-
Основи призми — квадрати LMNO і L₁M₁N₁O₁.
- Бічні грані — прямокутники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O і MM₁N₁N, розташовані під прямим кутом до таких підстав.
- Бічні ребра — відрізки, розташовані на стику між двома бічними гранями: M₁M, N₁N, O₁O і L₁L. Також виконують роль висоти (оскільки лежать в паралельної підстав площині). У призмі бічні ребра завжди рівні між собою — це одне з найважливіших властивостей цього геометричного тіла.
- Діагоналі, які, в свою чергу, поділяються ще на 3 категорії. До них відноситься 4 діагоналі підстави (MO, N₁L₁), 8 діагоналей бічних граней (ML₁, O₁L) і 4 діагоналі призми, початку і кінці яких є вершинами 2 різних підстав і бічних сторін (MO₁, N₁L).
Іноді в задачах геометрії можна зустріти поняття перерізу. Визначення звучатиме так: перетин — це всі точки об’ємного тіла, належать січної площини. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональне переріз (максимальна кількість перетинів, яких можна побудувати — 2), що проходить через 2 ребра і діагоналі основи.
Якщо ж перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні засад, ні бічним граням, в результаті виходить усічена призма.
Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини і формули. Частина з них відома з курсу планіметрії (наприклад, для знаходження площі основи призми досить згадати формулу площі квадрата).
Площа поверхні та об’єм
Щоб визначити об’єм призми за формулою, необхідно знати площа її основи і висоту:
V = Ѕосн·h
Так як основою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a, можна записати формулу у більш детальному вигляді:
V = a2·h
Якщо мова йде про кубі — правильної призми з рівною довжиною, шириною і висотою, об’єм обчислюється так:
V = a3
Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити собі її розгортку.
З креслення видно, що бічна поверхня складена з 4 рівних прямокутників. Її площа обчислюється як добуток периметра основи на висоту фігури:
Ѕбок = Росн·h
З урахуванням того, що периметр квадрата дорівнює P = 4a, формула приймає вигляд:
Ѕбок = 4a·h
Для куба:
Ѕбок = 4a 2
Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:
Ѕполн = Ѕбок + 2Ѕосн
Стосовно до правильної чотирикутної призми формула має вигляд:
Ѕполн = 4a·h + 2a2
Для площі поверхні куба:
Ѕполн = 6a2
Знаючи об’єм або площа поверхні, можна обчислити окремі елементи геометричного тіла.
Знаходження елементів призми
Часто зустрічаються задачі, в яких подано обсяг або відома величина площі бічної поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи або висоту. У таких випадках формули можна вивести:
- довжина сторони підстави: a = Ѕбок / 4h = √(V / h);
- довжина висоти або бічного ребра h = Ѕбок / 4a = V / a2;
- площа підстави: Ѕосн = V / h;
- площа бічної грані: Ѕбок. гр = Ѕбок / 4.
Щоб визначити, яку площу має діагональне розтин, необхідно знати довжину діагоналі і висоту фігури. Для квадрата d = a√2. З цього випливає:
Ѕдиаг = ah√2
Для обчислення діагоналі призми використовується формула:
dприз = √(2a2 + h2)
Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.
Приклади завдань з рішеннями
Ось кілька завдань, що зустрічаються в державних підсумкових іспитах з математики.
Завдання 1.
В коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 див. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною підстави в 2 рази більше?
Рішення.
Слід міркувати таким чином. Кількість піску в першій і другій ємності не змінювалася, тобто його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину підстави за a. У такому разі для першої коробки об’єм речовини складе:
V₁ = ha2 = 10a2
Для другої коробки довжина основи становить 2a, але невідома висота рівня піску:
V₂ = h (2a)2 = 4ha2
Оскільки V₁ = V₂, можна прирівняти вирази:
10a2 = 4ha2
Після скорочення обох частин рівняння на a2 виходить:
10 = 4h
У результаті новий рівень піску становитиме h = 10 / 4 = 2,5 див.
Завдання 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма. Відомо, що BD = AB₁ = 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.
Рішення.
Щоб було простіше зрозуміти, які саме елементи відомі, можна зобразити фігуру.
Оскільки мова йде про правильну призму, можна зробити висновок, що в основі знаходиться квадрат з діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, рівного підстави. Виходить, що всі три виміри — довжина, ширина і висота — рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.
Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Площа повної поверхні знаходиться за формулою куба:
Ѕполн = 6a2 = 6·62 = 216
Завдання 3.
В кімнаті проводиться ремонт. Відомо, що її стать має форму квадрата з площею 9 м2. Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м2 коштує 50 рублів?
Рішення.
Оскільки підлога і стеля є квадратами, тобто правильними чотирикутниками, і стіни її перпендикулярні горизонтальних поверхнях, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічній поверхні.
Довжина кімнати складає a = √9 = 3 м.
Шпалерами буде обклеєна площа Ѕбок = 4·3·2,5 = 30 м2.
Найменша вартість шпалер для цієї кімнати складе 50·30 = 1500 рублів.
Таким чином, для вирішення завдань на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу і периметр квадрата і прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об’єму та площі поверхні.
Як знайти площу куба
