Модуль числа легко знайти, і теорії, яка лежить в його основі, важлива при вирішенні завдань.

Властивості та правила розкриття, використовувані при рішенні вправ і на іспитах, будуть корисні школярам і студентам.

Що таке модуль математики

Модуль числа описує відстань на числової лінії від нуля до точки без урахування того, у якому напрямку від нуля лежить точка. Математичне позначення: |x|.

Іншими словами, це абсолютна величина числа. Визначення доводить, що значення ніколи не буває негативним.

Властивості модуля

Важливо пам’ятати про наступні властивості:

1. Правило розкриття: абсолютна величина будь-якого числа більше або дорівнює нулю:

   

2. Якщо абсолютні значення містять вираження протилежних значень, вони рівні:

   

3. Значення числа не перевищує величину його модуля:

   

4. Правило розкриття при творі:

   

5. Правило, застосовне при розподілі:

   

6. При зведенні в ступінь:

   

7. Сума величин:

   

8. Подвійний модуль:

   

Модуль комплексного числа

Абсолютною величиною комплексного числа називають довжину спрямованого відрізка, проведеного від початку комплексної площини до точки (a, b).

Цей спрямований відрізок також є вектором, що представляють комплексне число a + bi, тому абсолютна величина комплексного числа – це те ж саме, що й величина (або довжина) вектора, що представляє a+ bi.

Як вирішувати рівняння з модулем

Рівняння з модулем – це рівність, яка містить вираз абсолютного значення. Якщо для дійсного числа воно представляє його відстань від початку координат на числової лінії, то нерівності з модулем є типом нерівностей, які складаються з абсолютних значень.

Рівняння типу |x| = a

Рівняння |x| = a має дві відповіді x = a і x = –a, тому що обидва варіанти знаходяться на координатній прямій на відстані a від 0.

Рівність з абсолютною величиною не має рішення, якщо величина негативна.

Якщо |x| < a являє собою відстань чисел від початку координат, це означає, що потрібно шукати всі числа, чиє відстань від початку координат a менше.

Рівняння типу |x| = |y|

Коли є абсолютні значення по обидві сторони рівнянь, потрібно розглянути обидві можливості для прийнятних визначень – позитивні й негативні висловлювання.

Наприклад, для рівності |x − a| = |x + b| є два варіанти: (x − a) = − (x + b) або (x − a) = (x + b).

Далі проста арифметика − потрібно вирішити два рівності щодо x.

Рівняння типу |x| = y

Рівняння такого виду містять абсолютну величину вирази із змінною ліворуч від нуля, а праворуч – ще одну невідому. Змінна y може бути як більше, так і менше нуля.

Для отримання відповіді на таку рівність потрібно вирішити систему з кількох рівнянь, в якій потрібно переконатися, що y – невід’ємна величина:

Рішення нерівностей з модулем

Щоб краще зрозуміти, як розкрити модуль в різних типах рівностей і нерівностей, потрібно проаналізувати приклади.

Рівняння виду |x| = a

Приклад 1 (алгебра 6 клас). Вирішити: |x| + 2 = 4.

Рішення.

Такі рівняння вирішуються так само, як і рівності без абсолютних значень. Це означає, що, переміщаючи невідомі вліво, а константи – вправо, вираз не змінюється.

Після переміщення константи вправо отримано: |x| = 2.

Оскільки невідомі пов’язані з абсолютним значенням, це рівність має дві відповіді: 2 і -2.

Відповідь: 2 і -2.

Приклад 2 (алгебра 7 клас). Вирішити нерівність |x + 2| ≥ 1.

Рішення.

Перше, що потрібно зробити, це знайти точки, де абсолютне значення зміниться. Для цього вираз прирівнюється до 0. Отримано: x = -2.

Це означає, що -2 – поворотна точка.

Далі визначається знак на інтервалах: на проміжку величина буде від’ємною, а на інтервалі буде позитивною.

Поділимо інтервал на 2 частини:

1. для x + 2 ≥ 0

Загальним відповіддю для цих двох нерівностей є інтервал [-1; + ∞).

2. для х + 2 < 0

Загальним відповіддю для цих двох нерівностей є інтервал (−∞; -3].

Остаточне рішення – об’єднання відповідей окремих частин:

x ∈ (–∞; -3] ∪ [-1; + ∞).

Відповідь: x ∈ (–∞; -3] ∪ [-1; + ∞).

Рівняння виду |x| = |y|

Приклад 1 (алгебра 8 клас). Вирішити рівняння з двома модулями: 2 * |x– 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Рішення:

Відповідь: x1 = 3; x2 = − 1.

Приклад 2 (алгебра 8 клас). Вирішити нерівність:

Рішення:

Рівняння виду |x| = y

Приклад 1 (алгебра 10 клас). Знайти x:

Рішення:

Дуже важливо провести перевірку правій частині, інакше можна написати у відповідь помилкові коріння. З системи видно, що не лежить в проміжку .

Відповідь: x = 0.

Модуль суми

Модуль різниці

Абсолютна величина різниці двох чисел x і y дорівнює відстані між точками з координатами X і Y на координатній прямій.

Приклад 1.

Приклад 2.

Модуль від’ємного числа

Для знаходження абсолютного значення числа, яке менше нуля, потрібно дізнатися, як далеко воно лежить від нуля. Оскільки відстань завжди є позитивним (неможливо пройти «негативні» кроки, це просто кроки в іншому напрямку), результат завжди позитивний. Тобто,

Простіше кажучи, абсолютна величина від’ємного числа має протилежне значення.

Модуль нуля

Відомо властивість:

Ось чому можна сказати, що абсолютна величина – позитивне число: нуль не є ні негативних, ні позитивних.

Модуль в квадраті

Модуль в квадраті завжди дорівнює виразу в квадраті:

Приклади графіків з модулем

Часто в тестах і на іспитах зустрічаються завдання, які можна вирішити, лише проаналізувавши графіки. Розглянемо такі завдання.

Приклад 1.

Дана функція f(x) = |x|. Необхідно побудувати графік від – 3 до 3 з кроком 1.

Рішення:

Пояснення: з рисунка видно, що графік симетричний відносно осі Y.

Приклад 2. Необхідно намалювати і порівняти графіки функцій f(x) = |x–2| і g(x) = |x|-2.

Рішення:

Пояснення: константа всередині абсолютної величини переміщує весь графік вправо, якщо значення негативне, і вліво, якщо позитивне. Але постійна зовні буде пересувати графік вгору, якщо значення позитивне, і вниз, якщо воно негативне (як -2 функції g (x)).

Координата вершини x (точка, в якій поєднуються дві лінії, вершина графа) – це число, на яке графік зсувається вліво або вправо. А координата y – це значення, на яке графік зсувається вгору або вниз.

Будувати такі графіки можна за допомогою онлайн додатків для побудови. З їх допомогою можна наочно побачити, як константи впливають на функції.

Метод інтервалів в задачах з модулем

Метод інтервалів – один з кращих способів знайти відповідь у завданнях з модулем, особливо якщо у виразі їх кілька.

Для використання методу потрібно зробити наступні дії:

1. Прирівняти кожен вираз до нуля.
2. Знайти значення змінних.
3. Нанести на числову пряму точки, отримані в пункті 2.
4. Визначити на проміжках знак виразів (негативне або позитивне значення) і намалювати символ – або + відповідно. Найпростіше визначити знак за допомогою методу підстановки (підставивши будь-яке значення з проміжку).
5. Вирішити нерівності з отриманими знаками.

Приклад 1. Розв’язати методом інтервалів.

Рішення:

Результатом буде сума всіх відповідних інтервалів.

У модулі Модуль

Серед прикладів часто зустрічаються рівняння, де потрібно знайти коріння рівностей такого виду: ||ax – b| c| = kx + m.

Краще всього зрозуміти принцип на прикладі.

Приклад 1. Вирішити

Рішення:

Першим ділом потрібно розкрити внутрішній модуль. Для цього розглядається два варіанти:

У першому випадку вираз позитивне, а в другому негативне. Виходячи з цього, отримуємо:

Потрібно спростити два рівняння:

Далі кожна з рівностей поділяється ще на два:

Отримано чотири результату:

Висновок

Найважливіше, що потрібно знати: модуль не може бути від’ємним.

Тому, якщо не надано вираз, схожий на |2 – 4x| = -7 варто пам’ятати, що рівність невірно навіть без пошуків відповідей.

Як підсумок, нагадаємо всі властивості, які допоможуть у вирішенні завдань:

• коли позитивне число знаходиться всередині модуля, досить просто позбутися від нього;
• якщо є вираз, потрібно його спростити, перш ніж знайти абсолютне значення;
• якщо рівняння містить дві змінні, потрібно вирішувати його за допомогою системи рівнянь і за основу брати методи розв’язання виразів з абсолютними величинами.

Вирішувати рівності і нерівності можна різними способами, але краще всього використовувати графічний спосіб або метод інтервалів.