Рішення нерівностей з модулем

Щоб краще зрозуміти, як розкрити модуль в різних типах рівностей і нерівностей, потрібно проаналізувати приклади.

Рівняння виду |x| = a

Приклад 1 (алгебра 6 клас). Вирішити: |x| + 2 = 4.

Рішення.

Такі рівняння вирішуються так само, як і рівності без абсолютних значень. Це означає, що, переміщаючи невідомі вліво, а константи – вправо, вираз не змінюється.

Після переміщення константи вправо отримано: |x| = 2.

Оскільки невідомі пов’язані з абсолютним значенням, це рівність має дві відповіді: 2 і -2.

Відповідь: 2 і -2.

Приклад 2 (алгебра 7 клас). Вирішити нерівність |x + 2| ≥ 1.

Рішення.

Перше, що потрібно зробити, це знайти точки, де абсолютне значення зміниться. Для цього вираз прирівнюється до 0. Отримано: x = -2.

Це означає, що -2 – поворотна точка.

Далі визначається знак на інтервалах: на проміжку величина буде від’ємною, а на інтервалі буде позитивною.

Поділимо інтервал на 2 частини:

1. для x + 2 ≥ 0

Загальним відповіддю для цих двох нерівностей є інтервал [-1; + ∞).

2. для х + 2 < 0

Загальним відповіддю для цих двох нерівностей є інтервал (−∞; -3].

Остаточне рішення – об’єднання відповідей окремих частин:

x ∈ (–∞; -3] ∪ [-1; + ∞).

Відповідь: x ∈ (–∞; -3] ∪ [-1; + ∞).

Рівняння виду |x| = |y|

Приклад 1 (алгебра 8 клас). Вирішити рівняння з двома модулями: 2 * |x– 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Рішення:

Відповідь: x1 = 3; x2 = − 1.

Приклад 2 (алгебра 8 клас). Вирішити нерівність:

Рішення:

Рівняння виду |x| = y

Приклад 1 (алгебра 10 клас). Знайти x:

Рішення:

Дуже важливо провести перевірку правій частині, інакше можна написати у відповідь помилкові коріння. З системи видно, що не лежить в проміжку .

Відповідь: x = 0.