Однією з головних характеристик в алгебрі, так і у всій математиці є ступінь. Звичайно, в 21 столітті всі розрахунки можна проводити на онлайн-калькуляторі, але краще для розвитку мізків навчитися робити це самому.
У цій статті розглянемо найбільш важливі питання, що стосуються цього визначення. А саме, зрозуміємо що це взагалі таке і які основні функції, які є властивості в математиці.
Розглянемо на прикладах, як виглядає розрахунок, які основні формули. Розберемо основні види величини і те, чим вони відрізняються від інших функцій.
Зрозуміємо, як вирішувати за допомогою цієї величини різні завдання. Покажемо на прикладах, як зводити в нульову ступінь, ірраціональну, негативну і ін.
Що таке ступінь числа
Що ж мають на увазі під виразом «звести число до степеня»?
Ступенем n числа а є добуток множників величиною а n-разів поспіль.
Математично це виглядає наступним чином:
an = a * a * a * …an.
Причому, ліва частина рівняння буде читатися, як a в степ. n.
Наприклад:
- 23 = 2 в третій степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
- 54 = 5 в степ. чотири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Нижче буде представлена таблиця квадратів і кубів від 1 до 10.
Таблиця ступенів від 1 до 10
Нижче будуть наведені результати зведення натуральних чисел позитивні ступеня – «від 1 до 100».
| Ч-ло | 2-а ст-нь | 3-я ст-нь |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Властивості ступенів
Що ж характерно для такої математичної функції? Розглянемо базові властивості.
Вченими встановлено наступні ознаки, характерні для всіх ступенів:
- an * am = (a)(n+m);
- an : am = (a)(n-m);
- (ab ) m=(a)(b*m).
Перевіримо на прикладах:
23 * 22 = 8 * 4 = 32. З іншого боку 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.
Аналогічно: 23 : 22 = 8 / 4 =2. Інакше 23-2 = 21 =2.
(23)2 = 82 = 64. А якщо по-іншому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Як бачимо, правила працюють.
А як же бути зі складанням і відніманням? Все просто. Виконується спочатку зведення в ступінь, а вже потім додавання і віднімання.
Розглянемо на прикладах:
- 33 + 24 = 27 + 16 = 43;
- 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Зверніть увагу: правило не буде виконуватися, якщо спочатку зробити віднімання: (5 — 3)2 = 22 = 4.
А ось в цьому випадку треба обчислювати спочатку додавання, оскільки присутні дії в дужках: (5 + 3)3 = 83 = 512.
Як проводити обчислення в більш складних випадках? Порядок той же:
- при наявності дужок – починати потрібно з них;
- потім зведення у ступінь;
- потім виконувати дії множення, ділення;
- після додавання, віднімання.
Є специфічні властивості, характерні не для всіх ступенів:
- Корінь n-го степеня з числа a у ступеня m запишеться у вигляді: am/n.
- При зведенні дробу до степеня: цій процедурі схильні як чисельник, так і її знаменник.
- При зведенні твори різних чисел у ступінь, вираз буде відповідати добутку цих чисел в заданій мірі. Тобто: (a * b)n = an * bn.
- При зведенні числа в негативну ступ., потрібно розділити на 1 число у тій же ст-ні, але зі знаком «+».
- Якщо знаменник дробу перебуває в негативній мірою, то цей вираз буде дорівнює добутку чисельника на знаменник позитивної ступеня.
- Будь-яке число в ступені 0 = 1, а в степ. 1 = самому собі.
Ці правила важливі в окремих випадках, розглянемо їх детальніше нижче.
Ступінь з від’ємним показником
Що робити при мінусовій ступеня, тобто коли показник негативний?
Виходячи з властивостей 4 і 5 (див. пункт вище), виходить:
A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.
І навпаки:
1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.
А якщо дріб?
(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.
Степінь з натуральним показником
Під нею розуміють ступінь з показниками, рівними цілим числам.
Що потрібно запам’ятати:
A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.150 = 1; (-4)0 = 1…і т. д.
A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 31 = 3…і т. д.
Крім того, якщо (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат буде зі знаком «+». Якщо від’ємне число зводиться в непарну ступінь, то навпаки.
Загальні властивості, так і всі специфічні ознаки, описані вище, також характерні для них.
Дробова ступінь
Цей вид можна записати схемою: Am/n. Читається як: корінь n-го степеня з числа A у ступеня m.
З дробовим показником можна робити, що завгодно: скорочувати, розкладати на частини, зводити в іншу ступінь і т. д.
Степінь з ірраціональним показником
Нехай α – ірраціональне число, а А 0.
Щоб зрозуміти суть ступеня з таким показником, розглянемо різні можливі випадки:
- А = 1. Результат буде дорівнює 1. Оскільки існує аксіома – 1 на всіх ступенях дорівнює одиниці;
- А1.
Аг1 Аа Аг2, r1 r2 – раціональні числа;
- 0А1.
В цьому випадку навпаки: Аг2 Аа Аг1 при тих же умовах, що і в другому пункті.
Наприклад, показник ступеня число π. Воно раціональне.
r1 – в цьому випадку дорівнює 3;
r2 – буде 4.
Тоді, при А = 1, 1π = 1.
А = 2, 23 2π 24, 8 2π 16.
А = 1/2, то (½)4 (½)π (½)3, 1/16 (½)π 1/8.
Для таких ступенів характерні всі математичні операції і специфічні властивості, описані вище.
Висновок
Підведемо підсумки — для чого ж потрібні ці величини, в чому перевага таких функцій? Звичайно, в першу чергу вони спрощують життя математиків і програмістів при вирішенні прикладів, оскільки дозволяють мінімізувати розрахунки, скоротити алгоритми, систематизувати дані та багато іншого.
Де ще можуть придатися ці знання? У будь-якій робочій спеціальності: медицині, фармакології, стоматології, будівництві, техніці, інженерії, конструюванні і т. д.
