Правильна чотирикутна призма: формули обєму та площі поверхні, обчислення окремих елементів фігури

Знаходження елементів призми

Часто зустрічаються задачі, в яких подано обсяг або відома величина площі бічної поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи або висоту. У таких випадках формули можна вивести:

  • довжина сторони підстави: a = Ѕбок / 4h = √(V / h);
  • довжина висоти або бічного ребра h = Ѕбок / 4a = V / a2;
  • площа підстави: Ѕосн = V / h;
  • площа бічної грані: Ѕбок. гр = Ѕбок / 4.

Щоб визначити, яку площу має діагональне розтин, необхідно знати довжину діагоналі і висоту фігури. Для квадрата d = a√2. З цього випливає:

Ѕдиаг = ah√2

Для обчислення діагоналі призми використовується формула:

dприз = √(2a2 + h2)

Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.

Приклади завдань з рішеннями

Ось кілька завдань, що зустрічаються в державних підсумкових іспитах з математики.

Завдання 1.

В коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 див. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною підстави в 2 рази більше?

Рішення.

Слід міркувати таким чином. Кількість піску в першій і другій ємності не змінювалася, тобто його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину підстави за a. У такому разі для першої коробки об’єм речовини складе:

V₁ = ha2 = 10a2

Для другої коробки довжина основи становить 2a, але невідома висота рівня піску:

V₂ = h (2a)2 = 4ha2

Оскільки V₁ = V₂, можна прирівняти вирази:

10a2 = 4ha2

Після скорочення обох частин рівняння на a2 виходить:

10 = 4h

Дивіться також:  Визначення, ознаки і властивості довільній, равнобедренной і прямокутної трапеції

У результаті новий рівень піску становитиме h = 10 / 4 = 2,5 див.

Завдання 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма. Відомо, що BD = AB₁ = 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.

Рішення.

Щоб було простіше зрозуміти, які саме елементи відомі, можна зобразити фігуру.

Оскільки мова йде про правильну призму, можна зробити висновок, що в основі знаходиться квадрат з діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, рівного підстави. Виходить, що всі три виміри — довжина, ширина і висота — рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.

Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площа повної поверхні знаходиться за формулою куба:

Ѕполн = 6a2 = 6·62 = 216

Завдання 3.

В кімнаті проводиться ремонт. Відомо, що її стать має форму квадрата з площею 9 м2. Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м2 коштує 50 рублів?

Рішення.

Оскільки підлога і стеля є квадратами, тобто правильними чотирикутниками, і стіни її перпендикулярні горизонтальних поверхнях, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічній поверхні.

Довжина кімнати складає a = √9 = 3 м.

Шпалерами буде обклеєна площа Ѕбок = 4·3·2,5 = 30 м2.

Найменша вартість шпалер для цієї кімнати складе 50·30 = 1500 рублів.

Таким чином, для вирішення завдань на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу і периметр квадрата і прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об’єму та площі поверхні.

Сторінка: 1 2 3 4