Визначення, ознаки і властивості довільній, равнобедренной і прямокутної трапеції

У курсі геометрії за 8-й клас мається на увазі вивчення властивостей і ознак опуклих чотирикутників. До них відносяться паралелограми, частинними випадками яких є квадрати, прямокутники і ромби, і трапеції. І якщо рішення завдань на різні варіації паралелограма найчастіше не викликає великих труднощів, то розібратися, який чотирикутник називається трапецією, дещо складніше.

Визначення та види

На відміну від інших чотирикутників, які вивчаються у шкільній програмі, трапецією прийнято називати таку фігуру, дві протилежні сторони якої паралельні один одному, а дві інші — ні. Існує і інше визначення: це чотирикутник з парою сторін, які не рівні між собою і паралельні.

Різні види вказані на малюнку нижче.

На зображенні під номером 1 зображена довільна трапеція. Номером 2 позначений приватний випадок — прямокутна трапеція, одна із сторін якої перпендикулярна її підстав. Остання фігура — теж особливий випадок: це равнобедренная (равнобокая) трапеція, тобто чотирикутник з рівними бічними сторонами.

Найважливіші властивості і формули

Для опису властивостей чотирикутника прийнято виділяти певні елементи. В якості прикладу можна розглянути довільну трапецію ABCD.

До її складу входять:

  • підстави BC і AD — дві сторони паралельні по відношенню один до одного;
  • бокові сторони AB і CD — два непаралельних елемента;
  • діагоналі AC і BD — відрізки, що сполучають протилежні вершини фігури;
  • висота трапеції CH — перпендикулярний підстав відрізок;
  • середня лінія EF — лінія, що сполучає середини бічних сторін.

Основні властивості елементів

Щоб вирішити завдання з геометрії або довести якісь твердження, найбільш часто використовують властивості, які пов’язують різні елементи чотирикутника. Вони формулюються наступним чином:

  1. Середня лінія завжди проходить паралельно обом підстав фігури і чисельно дорівнює їх півсумі: EF = (BC + AD)/2.

  2. Точка перетину діагоналей фігури розділяє їх з таким же співвідношенням довжини, з яким належать підстави трапеції: AD : BC = AO : CO = DO : BO.
  3. Підстава можна обчислити, знаючи довжину другого підстави і середньої лінії: BC = 2 · EF — AD, AD = 2 · EF — BC.
  4. Бокові сторони обчислюються, якщо відома висота фігури і синус кута при основі: AB = CH / sinA, CD = CH / sinD.
  5. Для розрахунку висоти необхідно знати, чому дорівнює бічна сторона і прилеглий кут: CH = AB · sinA = CD · sinD.

Крім того, часто корисно знати і застосовувати наступні твердження:

  1. Бісектриса, проведена з довільного кута, відокремлює на підставі відрізок, довжина якого дорівнює бічній стороні фігури.
  2. При проведенні діагоналей утворюються 4 трикутника; з них 2 трикутника, утворених підставами і відрізками діагоналей, мають подобою, а залишилася пара має однакову площу.
  3. Через точку перетину діагоналей O, середини підстав, а також точку, в якій перетинаються продовження бічних сторін, можна провести пряму.

Обчислення периметра й площі

Периметр розраховується як сума довжин усіх чотирьох сторін (аналогічно будь-якої іншої геометричної фігури):

P = AD + BC + AB + CD.

Є кілька способів, як можна розрахувати площу трапеції за формулою. Слід вибрати з них найбільш підходящий варіант, спираючись на дані, які відомі за умовою задачі.

Вписана і описана окружність

Окружність можливо описати близько трапеції тільки в тому випадку, коли бокові сторони чотирикутника рівні.

Щоб обчислити радіус описаної окружності, необхідно знати довжини діагоналі, бічної сторони і більшої підстави. Величина p, що використовується у формулі розраховується як полусумма всіх перерахованих вище елементів: p = (a + c + d)/2.

Для вписаного кола умова буде наступним: сума підстав повинна збігатися з сумою бічних сторін фігури. Радіус її можна знайти через висоту, і він буде дорівнює r = h/2.

Приватні випадки

Розглянемо часто зустрічається випадок — равнобокую (равностороннюю) трапецію. Її ознаки — рівність бокових сторін або рівність протилежних кутів. До неї застосовні всі твердження, які характерні для довільної трапеції. Інші властивості равнобедренной трапеції:

  1. Пряма, яка проходить через середини основ фігури, перетинає їх під кутом 90 градусів.

  2. Кути, що лежать за будь-яких підставах, попарно рівні.
  3. Довжини діагоналей збігаються.
  4. Висота буде дорівнює середньої лінії, якщо діагоналі проходять перпендикулярно один до одного.
  5. Висота, опущена з вершини до основи, ділить його на 2 відрізки, довжина більшого обчислюється як половина суми підстав, а довжина меншої — як половина різниці.

Прямокутна трапеція зустрічається в задачах не так часто. Її ознаки — наявність двох суміжних кутів, рівних 90 градусів, і наявність бічної сторони, перпендикулярній підстав. Висота в такому чотирикутнику одночасно є однією з його сторін.

Всі розглянуті властивості і формули зазвичай використовуються для розв’язання планіметричних задач. Однак також їх доводиться застосовувати у деяких завданнях з курсу стереометрії, наприклад, при визначенні площі поверхні зрізаної піраміди, яка зовнішньо нагадує об’ємну трапецію.