У школі на уроці математики кожен рік учні розбирають нові теми. 6 клас зазвичай вивчає модуль числа – це важливе поняття в математиці, робота з яким зустрічається далі в алгебрі і вищої математики. Дуже важливо з самого початку правильно зрозуміти пояснення терміна і розібратися в цій темі, щоб успішно проходити інші теми.

Величини в математиці

Для початку слід розуміти, що абсолютна величина – це параметр в статистиці (вимірюється кількісно), який характеризує досліджуване явище по його об’єму. При цьому явище повинно здійснюватися в певних часових рамках і з певним місцем розташування. Розрізняють значення:

• сумарні – підходять для групи одиниць або повністю всієї сукупності;
• індивідуальні – підходять тільки для роботи з одиницею деякої сукупності.

Поняття широко використовуються у статистичних вимірюваннях, результатом яких є показники, що характеризують абсолютні розміри у кожній одиниці якогось явища. Вимірюються вони в двох показниках: натуральному, тобто фізичні одиниці (шт., люди) і умовно-натуральному. Модуль в математиці є відображенням даних показників.

Модуль числа

Що таке модуль числа?

Важливо! Дане визначення «module» з латині перекладається як «міра» і означає абсолютну величину будь-якого натурального числа.

Але у цього поняття є і геометричне пояснення, оскільки модулю в геометрії дорівнює відстань від початку системи координат до точки X, яке вимірюється у звичних одиницях виміру.

Для того, щоб визначити цей показник у кількості, слід не враховувати його знак (мінус, плюс), але при цьому слід пам’ятати те, що він ніколи не може бути від’ємним. Дане значення на папері виділяється графічно у вигляді квадратних дужок — |a|. При цьому, математичне визначення таке:

|х| = х, якщо х більше або дорівнює нулю і -х, якщо менше нуля.

Англійський вчений Р. Котс був тією людиною, хто вперше застосував це поняття в математичних розрахунках. А ось К. Вейерштрасс, математик з Німеччини, придумав і ввів у використання графічний символ.

В геометрії module можна розглянути на прикладі координатної прямої, на яке нанесені 2 довільні точки. Припустимо, одна — А має значення 5, а друга — 6. При докладному вивченні креслення стане ясно, що відстань від А до В – 5 одиниць від нуля, тобто початку координат, а точка розміщена від початку координат на 6 одиниць. Можна зробити висновок, що module точки, А = 5, а точки В = 6. Графічно це можна позначити так: | 5 | = 5. Тобто відстань від точки до початку координат є модулем даної точки.

Корисне відео: що таке модуль дійсного числа?

Властивості

Як у будь-якого математичного поняття, у module є свої математичні властивості:

1. Він завжди позитивний, тому модулем додатного значення буде вона сама, наприклад, модуль числа 6 і -6 дорівнює 6. Математично це властивість можна записати як |a| = a, якщо a> 0;
2. Показники протилежних чисел дорівнюють між собою. Це властивість зрозуміліше в геометричному викладі, оскільки на прямій дані числа розташовуються в різних місцях, але при цьому від початку відліку їх відділяє рівну кількість одиниць. Математично це записується так: |а| = |-а|;
3. Модуль нуля дорівнює нулю, за умови, що дійсне число – це нуль. Це властивість підтверджується тим фактом, що нуль є початком координат. Графічно це записують так: |0| = 0;
4. Якщо потрібно знайти модуль двох помноження цифр, варто розуміти, що він буде дорівнює отриманому твору. Іншими словами, твір величин А і В = АВ, за умови, що вони позитивні або ж негативні, і тоді добуток дорівнює -АВ. Графічно це можна записати як |А*В| = |А| * |В|.

Успішне вирішення рівнянь з модулем залежить від знання даних властивостей, яке допоможе будь-якому правильно обчислювати і працювати з даним показником.

Властивості модуля

Важливо! Показник не може бути негативним, оскільки він визначає відстань, яке завжди позитивне.

У рівняннях

У разі роботи і рішення математичних нерівностей, у яких присутня module, завжди необхідно пам’ятати, що для одержання підсумкового правильного результату слід розкрити дужки, тобто відкрити знак module. Найчастіше, в цьому і є сенс рівняння.

При цьому варто пам’ятати, що:

• якщо у квадратних дужках записано вираз, його необхідно вирішити: |А + 5| = А + 5, А при більше або рівним нулю і 5-А, у випадку А менше нуля;
• квадратні дужки найчастіше повинні розкриватися незалежно від значень змінної, наприклад, якщо в дужках укладено вираження в квадраті, оскільки при розкритті в будь-якому випадку буде позитивне число.

Дуже легко вирішуються рівняння з module шляхом занесення значень в систему координат, оскільки тоді легко побачити візуально значення та їх показники.

Корисне відео: модуль дійсного числа та його властивості

Висновок

Принцип розуміння такого математичного поняття, як module, вкрай важливий, оскільки воно використовується у вищій математиці та інших науках, тому необхідно вміти працювати з ним.