Часто, при вирішенні завдань, пов’язаних із спостереженнями та присвоєнням значення певної події за певний проміжок часу, виходить ряд чисел, який називається арифметичною прогресією.

Одна з головних відмінних особливостей — така математична модель має закономірність, за якою можна обчислити будь невідомий член, що спрощує прогнозування при обчисленні фізичних ситуацій.

Прикладами повсякденного використання можуть бути спостереження за температурою повітря, прогнозування витрат з занесенням результатів у таблицю та ін.

Визначення і приклади арифметичної прогресії

Це послідовність чисел, де кожне наступне число ряду (починаючи з другого) збільшується або зменшується на певну суму, що є константою.

Крім цього для опису використовується ряд супутніх термінів і визначень. Членом (ап) називається одиничне число послідовності.

Різницею (d) називається фіксоване число, на яке збільшується або зменшується наступне число прогресії.

Крім цього, існують види таких рядів:

• зростаюча – числа ряду збільшуються за своїм значенням;
• щербатий – кожне наступне число ряду зменшується.

В якості прикладу наведемо послідовність чисел«3, 9, 15, 21, 27». Даний випадок – цей ряд чисел підпадає під характеристику арифметичної прогресії. Цей висновок робиться у тому випадку, коли різниця між членами ряду фіксована і дорівнює 6.

Види арифметичної (алгебраїчної) прогресії

Різновиди будуються на підставі характеристики різниці (d), а саме на підставі відмінності останньої від нуля.

Таким чином, можна зустріти певні варіації:

• різниця d<0 – прогресія буде вважатися спадною, а кожен наступний член буде менше попереднього;
• різниця d>0 – це передбачає, що кожен член ряду буде більше попереднього, а прогресію будуть називати зростаючої;
• при d=0 ряд теж буде мати властивості прогресії, яку іменують стаціонарної, і всі члени будуть однаковими (які не будуть змінюватися).

Якщо прогресія не змінюється з кожним кроком на одну і ту ж різниця, то ця прогресія непостійна і арифметичним не є.

Важливо знати: арифметична від геометричної відрізняється тим, що в останній проводиться збільшення кожного наступного на один і той же множник.

Формули арифметичної прогресії

Одне з найважливіших властивостей полягає в можливості обчислення будь-якого числа конкретного місця ряду.

Щоб вирішувати це, необхідна формула, що показує, як член арифметичної прогресії. В загальному вигляді вона буде виглядати, як значення попереднього числа в ряду (an-1), до якого додають різниця (d):

Також може виникнути завдання, коли треба підсумувати всі числа ряду арифметичної прогресії (сума членів). Якщо їх малу кількість, то можна порахувати це вручну, але якщо кількість чисел перевалить за сотню, то простіше буде скористатися спеціальною формулою для обробки.

Отже, нам знадобиться значення першого числа в ряду (a1) і останнього (an), а також інформація про загальну кількість чисел у рядку. Рекурентна формула, що показує, як шукати суму, буде виглядати в такому випадку наступним чином:

Зверніть увагу: під значенням n мається на увазі саме кількість членів ряду, для яких проводиться знаходження суми.

Твір членів арифметичної прогресії можна знаходити за схожою формулою:

де Pn – твір, b1 і bn – відповідно перше і останнє числа, а n – кількість членів.

Окремо слід торкнутися такого поняття, як характеристичне властивість прогресії. Воно зводиться до виконання певної умови для кожного елемента:

Приклади завдань з рішенням

Розглянемо як вирішувати завдання на задану тему.

Приклад 1

Потрібно обчислити 574 член ряду арифметичної прогресії, перші три члени якої «8, 15, 22…».

Варіант міркувань з прикладу 1. Для знаходження будь-якого конкретного елемента ряду нам необхідна інформація про значення першого члена (a1) і про різниці (d). Щоб обчислити різницю, віднімаємо з другого члена ряду перший (15 – 8) і отримуємо d = 7. Тепер ми можемо вважати за формулою:

Підставляючи отримані значення, отримаємо вираз виду a574 = 8 + (574-1) * 7.

Після обчислення отримуємо відповідь: a574 = 4019.

Приклад 2

Потрібно обчислити 544 член ряду, який є арифметичною прогресією, за умови, що 154-ий член дорівнює 17, а різниця (d) дорівнює 8.

Варіант міркувань з прикладу 2. Користуватися в даній ситуації ми будемо формулою із попереднього прикладу:

Підставляючи відомі значення, отримуємо вираз – а544 = 17 + (544 — 1) * 8.

Обчислюючи, отримуємо відповідь а544 = 4361.

Приклад 3

Для підготовки до іспиту з біології студенту Смирнову необхідно вивчити 730 питань (включаючи загадки). Відомо, що він дуже стурбований і по мірі наближення дати іспиту вчить щодня на 27 питань більше, ніж у попередній день. Один Смирнова з’ясував, що той в перший день вивчив усього 17 питань.

Потрібно з’ясувати, скільки часу у студента пішло на підготовку.

Варіант міркувань за приклад 3. Очевидно, що випадок з підготовкою студента до іспиту вирішується через формули арифметичною прогресією (оскільки є фіксована різниця d = 17). Виробляємо підстановці відомих даних:

Після підстановки отримуємо вираз: 730 = 17 + (n — 1) * 27.

Після обчислень визначаємо відповідь – 27 днів.

Арифметична прогресія є найбільш простий з всіх числових залежностей. Використання наведених формул дозволить значно прискорити обчислення в задачах, де це потрібно.

Крім цього, для спрощення можна використовувати онлайн калькулятор. У школі дану тему вивчають в програмі за 9 клас, а основні завдання стосуються перебування членів і сум.