Параметричне рівняння векторне

Це третій важливий вид рівняння, який також часто використовується при вирішенні завдань. Вище було показано, що площина однозначно задається точкою і нормальним вектором. Однак визначити цей геометричний двовимірний об’єкт можна й інакше.

Припустимо, що є два компланарних вектори, які не паралельні один одному. Позначимо їх u(a1; b1; c1) та v(a2; b2; c2). Також відома точка Q(x0; y0; z0). Яким буде рівняння площини, яка проходить через цю точку і два вектора?

Відповісти на це питання можна, отримавши рівняння в загальному вигляді. Однак вирішимо цю задачу іншим способом. Згадаємо, що будь-який вектор площини може бути розкладений на два інших компланарних вектори, які також належать цій площині. Це означає, що довільний вектор QP, де P(x; y; z), може бути представлений у вигляді:

QP = α*u + β*v.

Пробігаючи всі точки P площині, ми отримаємо відповідні параметри α і β. Наведене для площині рівняння називається параметричним векторним. Його записують часто в координатному вигляді:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a1; b1; c1) + β*(a2; b2; c2).

Видно, що ця форма запису площині аналогічна векторному рівнянню для прямої у двовимірному і тривимірному випадках.

Цей вираз можна записати більш явно, якщо розділити змінні:

x = x0 + α*a1 + β*a2;

y = y0 + α*b1 + β*b2;

z = z0 + α*c1 + β*c2.

Ці три рівняння мають форму аналогічну параметричного рівняння для прямої в просторі. Цей вид часто використовується при перетворенні векторного рівняння в загальне для площини.