Пучок площин

Якщо дві площини перетинаються, то всі загальні їхньої точки лежать на одній прямій. Відзначимо, що одним з методів завдання прямої в просторі є система двох загальних рівнянь площини. Скільки в просторі площин можна провести через одну пряму? Нескінченне число. Їх сукупність називається пучком. Рівняння, яке описує цей пучок, має наступну форму:

k1*(A1*x + B1*y + C1*z + D1) + k2*(A2*x + B2*y + C2*z + D2) = 0.

Тут k1 і k2 є довільними числами. Окремим випадком є ситуація, коли один або обидва параметра k не можуть приймати значення нуль. Припустимо, що k1≠0, тоді рівняння пучка можна переписати у вигляді:

(A1*x + B1*y + C1*z + D1) + k2/k1*(A2*x + B2*y + C2*z + D2) = 0.

Це рівність описує усі площини пучка крім однієї, має направляючий вектор n2(A2; B2; C2).

Прикладом пучка площин є сукупність аркушів відритої книги.

Далі вирішимо кілька геометричних задач, застосовуючи отримані знання про властивості площин у просторі.