Зображення на площині в системі координат

Завдання полягає в наступному: за відомим рівнянням слід зобразити площину в просторі. Відповідне рівняння має вигляд:

3*x – y -4*z +5 = 0.

Щоб зобразити цю площину, необхідно знайти точки, в яких вона перетинає осі координат. Для цього можна отримати відповідне рівняння у відрізках. Проте в даному випадку вчинимо інакше: покладемо рівними нулю дві координати і обчислимо третю. Маємо:

y = 0; z = 0; x = -5/3;

x = 0; z = 0; y = 5;

x = 0; y = 0; z = 5/4.

Залишається нанести отримані точки на осі координат і провести через них площину. Положення площини у просторі зображене на малюнку нижче.

Три точки і площину

Нехай дано три точки у просторі:

M(1; -1; 3);

N(3; 2; -4);

L(2; 5; 0).

Необхідно знайти площину, яка через них проходить.

З геометрії відомо, що три точки, що не лежать на одній прямій, однозначно визначають площину. Її рівняння можна скласти, якщо знайти її напрямний вектор n. Він буде дорівнює векторному добутку копланарных векторів, що лежать у площині. Координати векторів можна одержати з координат точок, наприклад:

MN(2; 3; -7);

ML(1; 6; -3).

Їх векторний добуток дасть вектор n. Обчислюючи його, отримуємо:

n(33; -1; 9).

Взявши для прикладу точку M, одержуємо загальне рівняння у вигляді:

33*x -y + 9*z – 61 = 0.

Можна підставити координати точок N і L в рівняння і переконатися, що рівність виконується.