Загальне рівняння

Дане вище визначення допоможе отримати рівняння площини у просторі в координатах. Припустимо, що є деяка точка з відомими координатами Q(x0; y0; z0). Відомо, що вона лежить у деякій площині, нормаль до якої дорівнює n(A; B; C). Припустимо тепер, що довільна точка M(x; y; z) також належить цій площині. Останнє означає, що вектора q m і n будуть перпендикулярні, тобто їх скалярний добуток зануляется. Тому можна записати наступне рівняння:

(QM*n) = 0.

Підставляємо в нього координати і розкриваємо дужки, приходимо до рівняння:

(x-x0)*A + (y-y0)*B +(z-z0)*C = 0 =>

A*x + B*y + C*z + D = 0, де D = -1*(A*x0 + B*y0 + C*z0).

Отримане рівняння площини називається загальним. Воно має таку ж форму, що і загальне для рівняння прямої на площині. Видно, що коефіцієнти, які стоять перед змінними x, y і z являють собою не що інше, як координати перпендикулярного площині вектора. Він називається направляючим.

Відзначимо, що якщо при отриманні загального рівняння конкретна точка Q невідома, а є тільки напрямний вектор n, тоді ми приходимо до рівняння для сукупності паралельних площин, що відрізняються тільки параметром D.