Перетворення параметричного векторного рівняння загальна

Дано наступне площині рівняння в параметричному вигляді векторної:

(x; y; z) = (1; 2; 0) + α*(1; 2; 3) + β*(-1; 3; 0).

Необхідно записати його у вигляді загального рівняння площини у просторі.

Перепишемо його в явному вигляді:

x = 1 + α – β;

y = 2 + 2*α + 3*β;

z = 3*α.

З останнього виразу отримаємо α, потім підставляємо його в перше рівність і висловлюємо β. Знайдені параметри підставляємо в друге рівняння, маємо:

α = z/3;

β = 1 – x + z/3;

y = 2 + 2*z/3 + 3 – 3*x + z =>

y + 3*x +5/3*z – 5 = 0 =>

9*x + 3*y + 5*z -15 = 0.

Таким чином, щоб отримати загальне рівняння з векторного параметричного, слід спочатку записати його в явному вигляді, а потім виразити через параметри змінні координати.

Перетворення загального в параметричне векторне рівняння

Це завдання є цілком протилежною попередній. Розглянемо прийоми, що дозволяють її вирішити.

Дано наступне рівняння:

x-2*y+3*z -1 = 0.

Для початку слід висловити одну координату через дві інші. Виразимо для прикладу x:

x=2*y-3*z +1.

Це означає, що площині буде належати будь-яка точка, що має координати:

(2*y-3*z +1; y; z).

Тепер перепишемо цю координату у вигляді суми трьох векторів, причому перший буде містити тільки змінну y, другий – тільки z, а третій буде складатися винятково з чисел. Маємо:

(x; y; z) = (2*y; y; 0) + (-3*z; 0; z) +(1; 0; 0).

Видно, що, розкривши це рівняння, ми одержимо загальні координати точки площині. Тепер залишається тільки винести за дужки змінні в першому і другому векторах та переобозначить їх параметрами α і β. Отримуємо:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; 1; 0) + β*(-3; 0; 1).

Ми отримали рівняння в параметричному векторному вигляді, аналогічне вихідному.