Другим після прямої важливим елементом просторової геометрії є площина. Вміння описувати її рівнянням дає можливість обчислення просторових кутів і висот для різних об’ємних фігур. У цій статті наведемо всі види рівнянь, що описують площину в просторі. Також розглянемо можливі варіанти взаємного розташування площин.

Геометричне поняття про площині

У двовимірної геометрії площину не розглядається, оскільки всі завдання вирішуються тільки в координатах x і y. Коли ж ми додаємо третю координатну вісь z, то площина стає важливим геометричним елементом.

Під поняттям “площину” розуміють сукупність точок, будь-які дві з яких якщо з’єднати, то отриманий вектор буде завжди перпендикулярний деякому заданому вектору. Цей заданий вектор називається нормаллю. Нормаль відіграє важливу роль при кількісному описі площині, а її властивості використовуються для вирішення різних завдань.

Малюнок нижче показує три площини у просторі (сині), які перетинає четверта (червона).

Загальне рівняння

Дане вище визначення допоможе отримати рівняння площини у просторі в координатах. Припустимо, що є деяка точка з відомими координатами Q(x0; y0; z0). Відомо, що вона лежить у деякій площині, нормаль до якої дорівнює n(A; B; C). Припустимо тепер, що довільна точка M(x; y; z) також належить цій площині. Останнє означає, що вектора q m і n будуть перпендикулярні, тобто їх скалярний добуток зануляется. Тому можна записати наступне рівняння:

(QM*n) = 0.

Підставляємо в нього координати і розкриваємо дужки, приходимо до рівняння:

(x-x0)*A + (y-y0)*B +(z-z0)*C = 0 =>

A*x + B*y + C*z + D = 0, де D = -1*(A*x0 + B*y0 + C*z0).

Отримане рівняння площини називається загальним. Воно має таку ж форму, що і загальне для рівняння прямої на площині. Видно, що коефіцієнти, які стоять перед змінними x, y і z являють собою не що інше, як координати перпендикулярного площині вектора. Він називається направляючим.

Відзначимо, що якщо при отриманні загального рівняння конкретна точка Q невідома, а є тільки напрямний вектор n, тоді ми приходимо до рівняння для сукупності паралельних площин, що відрізняються тільки параметром D.

Рівняння у відрізках

При зображенні площин у просторі, коли задані конкретні осі координат, найпростіше вести геометричні побудови, якщо відомі точки, де площина перетинає ці осі. Вираз, який дозволяє дізнатися значення координат перетину площини з осями x, y і z, називається рівнянням у відрізках. Його можна отримати, провівши деякі математичні перетворення з рівнянням загального типу.

Припустимо, що відомо наступне рівняння:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Перенесемо вільний член D в праву частину рівності, а потім поділимо обидві частини рівняння так, щоб праворуч вийшла одиниця. Маємо:

A*x + B*y + C*z = -D =>

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C) = 1 або

x/p + y/q + z/r = 1, де p = -D/A, q = -D/B, r = -D/C.

Отриманий вираз називається рівнянням у відрізках, причому отсекаемые на осях x, y і z довжини відрізків, починаючи з точки (0; 0; 0), мають значення p, q і r відповідно. Це можна перевірити таким чином: якщо покласти, що координати по осі y і z рівні нулю, тоді x виходить дорівнює q. Тобто точка перетину з віссю абсцис має координати (p; 0; 0). Аналогічно міркуючи, отримуємо залишилися дві координати (0; q; 0) і (0; 0; r).

Параметричне рівняння векторне

Це третій важливий вид рівняння, який також часто використовується при вирішенні завдань. Вище було показано, що площина однозначно задається точкою і нормальним вектором. Однак визначити цей геометричний двовимірний об’єкт можна й інакше.

Припустимо, що є два компланарних вектори, які не паралельні один одному. Позначимо їх u(a1; b1; c1) та v(a2; b2; c2). Також відома точка Q(x0; y0; z0). Яким буде рівняння площини, яка проходить через цю точку і два вектора?

Відповісти на це питання можна, отримавши рівняння в загальному вигляді. Однак вирішимо цю задачу іншим способом. Згадаємо, що будь-який вектор площини може бути розкладений на два інших компланарних вектори, які також належать цій площині. Це означає, що довільний вектор QP, де P(x; y; z), може бути представлений у вигляді:

QP = α*u + β*v.

Пробігаючи всі точки P площині, ми отримаємо відповідні параметри α і β. Наведене для площині рівняння називається параметричним векторним. Його записують часто в координатному вигляді:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a1; b1; c1) + β*(a2; b2; c2).

Видно, що ця форма запису площині аналогічна векторному рівнянню для прямої у двовимірному і тривимірному випадках.

Цей вираз можна записати більш явно, якщо розділити змінні:

x = x0 + α*a1 + β*a2;

y = y0 + α*b1 + β*b2;

z = z0 + α*c1 + β*c2.

Ці три рівняння мають форму аналогічну параметричного рівняння для прямої в просторі. Цей вид часто використовується при перетворенні векторного рівняння в загальне для площини.

Паралельні площини

Існує лише два варіанти відносного положення двох площин у просторі. У цьому пункті статті наведемо умова, коли вони паралельні.

Якщо два рівняння площини дані в загальному вигляді, то визначити паралельність їх досить просто. Дві площини будуть паралельні, якщо їх вектора направляючі такими є. Припустимо, що є два рівняння:

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0;

A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0.

Перпендикулярні до кожної з площин вектора мають координати:

n1 (A1; B1; C1);

n2 (A2; B2; C2).

Якщо вектор n1 можна представити у вигляді множення на дійсне число вектора n2, тоді обидва вони будуть паралельні, тобто:

n2 = l*n1, де l – дійсне число.

Інший спосіб визначення їхньої паралельності полягає в знаходженні косинуса кута між ними через скалярний добуток і модулі векторів. Цей косинус повинен бути дорівнює одиниці, тоді вектора (площині) будуть паралельними. Відповідна формула має вигляд:

cos(φ) = |(n1*n2)|/(|n1|*|n2|) = 1.

Якщо ж рівняння площин у параметричної векторній формі дані, тоді паралельність площин у просторі також визначається із умови паралельності нормалей до них. Щоб знайти направляючі вектори цих нормалей, слід взяти векторні твори утворюють кожну площину векторів.

Малюнок вище показує три площини, які паралельні один одному.

Перетин площин

Це другий варіант взаємного розташування в просторі площин. У цьому випадку дві площини перетинаються з деякою прямою, яка їм належить. В даному випадку важливо вміти розраховувати двогранний кут цього перетину. Він завжди дорівнює куту між відповідними напрямними векторами, тобто між перпендикулярами площин.

У попередньому пункті вже була наведена формула дозволяє розрахувати кут між нормалями. Тут лише розкриємо її, записавши через координати векторів n1 і n2:

φ = arccos(|A1*A2+B1*B2+C1*C2|/(√(A12+B12+C12)*√(A22+B22+C22))).

Ця формула часто застосовується при обчисленні двогранних кутів між площинами піраміди або похилої призми.

Дві площини, що перетинають третю горизонтальну, наведено на малюнку вище.

Приватним випадком перетину двох площин є кут φ=90 o, тобто має місце перпендикулярність розглянутих геометричних об’єктів. Для визначення перпендикулярності не обов’язково проводити розрахунки кута φ по кілька громіздкою формулою вище, для цього буде достатнім розрахувати значення скалярного добутку n1 і n2. Для перпендикулярних площин воно дорівнює нулю, тобто:

(n1*n2) = A1*A2+B1*B2+C1*C2 = 0.

Пучок площин

Якщо дві площини перетинаються, то всі загальні їхньої точки лежать на одній прямій. Відзначимо, що одним з методів завдання прямої в просторі є система двох загальних рівнянь площини. Скільки в просторі площин можна провести через одну пряму? Нескінченне число. Їх сукупність називається пучком. Рівняння, яке описує цей пучок, має наступну форму:

k1*(A1*x + B1*y + C1*z + D1) + k2*(A2*x + B2*y + C2*z + D2) = 0.

Тут k1 і k2 є довільними числами. Окремим випадком є ситуація, коли один або обидва параметра k не можуть приймати значення нуль. Припустимо, що k1≠0, тоді рівняння пучка можна переписати у вигляді:

(A1*x + B1*y + C1*z + D1) + k2/k1*(A2*x + B2*y + C2*z + D2) = 0.

Це рівність описує усі площини пучка крім однієї, має направляючий вектор n2(A2; B2; C2).

Прикладом пучка площин є сукупність аркушів відритої книги.

Далі вирішимо кілька геометричних задач, застосовуючи отримані знання про властивості площин у просторі.

Перетворення параметричного векторного рівняння загальна

Дано наступне площині рівняння в параметричному вигляді векторної:

(x; y; z) = (1; 2; 0) + α*(1; 2; 3) + β*(-1; 3; 0).

Необхідно записати його у вигляді загального рівняння площини у просторі.

Перепишемо його в явному вигляді:

x = 1 + α – β;

y = 2 + 2*α + 3*β;

z = 3*α.

З останнього виразу отримаємо α, потім підставляємо його в перше рівність і висловлюємо β. Знайдені параметри підставляємо в друге рівняння, маємо:

α = z/3;

β = 1 – x + z/3;

y = 2 + 2*z/3 + 3 – 3*x + z =>

y + 3*x +5/3*z – 5 = 0 =>

9*x + 3*y + 5*z -15 = 0.

Таким чином, щоб отримати загальне рівняння з векторного параметричного, слід спочатку записати його в явному вигляді, а потім виразити через параметри змінні координати.

Перетворення загального в параметричне векторне рівняння

Це завдання є цілком протилежною попередній. Розглянемо прийоми, що дозволяють її вирішити.

Дано наступне рівняння:

x-2*y+3*z -1 = 0.

Для початку слід висловити одну координату через дві інші. Виразимо для прикладу x:

x=2*y-3*z +1.

Це означає, що площині буде належати будь-яка точка, що має координати:

(2*y-3*z +1; y; z).

Тепер перепишемо цю координату у вигляді суми трьох векторів, причому перший буде містити тільки змінну y, другий – тільки z, а третій буде складатися винятково з чисел. Маємо:

(x; y; z) = (2*y; y; 0) + (-3*z; 0; z) +(1; 0; 0).

Видно, що, розкривши це рівняння, ми одержимо загальні координати точки площині. Тепер залишається тільки винести за дужки змінні в першому і другому векторах та переобозначить їх параметрами α і β. Отримуємо:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; 1; 0) + β*(-3; 0; 1).

Ми отримали рівняння в параметричному векторному вигляді, аналогічне вихідному.

Зображення на площині в системі координат

Завдання полягає в наступному: за відомим рівнянням слід зобразити площину в просторі. Відповідне рівняння має вигляд:

3*x – y -4*z +5 = 0.

Щоб зобразити цю площину, необхідно знайти точки, в яких вона перетинає осі координат. Для цього можна отримати відповідне рівняння у відрізках. Проте в даному випадку вчинимо інакше: покладемо рівними нулю дві координати і обчислимо третю. Маємо:

y = 0; z = 0; x = -5/3;

x = 0; z = 0; y = 5;

x = 0; y = 0; z = 5/4.

Залишається нанести отримані точки на осі координат і провести через них площину. Положення площини у просторі зображене на малюнку нижче.

Три точки і площину

Нехай дано три точки у просторі:

M(1; -1; 3);

N(3; 2; -4);

L(2; 5; 0).

Необхідно знайти площину, яка через них проходить.

З геометрії відомо, що три точки, що не лежать на одній прямій, однозначно визначають площину. Її рівняння можна скласти, якщо знайти її напрямний вектор n. Він буде дорівнює векторному добутку копланарных векторів, що лежать у площині. Координати векторів можна одержати з координат точок, наприклад:

MN(2; 3; -7);

ML(1; 6; -3).

Їх векторний добуток дасть вектор n. Обчислюючи його, отримуємо:

n(33; -1; 9).

Взявши для прикладу точку M, одержуємо загальне рівняння у вигляді:

33*x -y + 9*z – 61 = 0.

Можна підставити координати точок N і L в рівняння і переконатися, що рівність виконується.