Властивості правильної трикутної піраміди. Усічена піраміда з трикутним підставою

Піраміда є однією із важливих фігур, характеристики якої детально вивчають у старших класах шкіл на уроках стереометрії (розділ геометрії). У цій статті розглянемо правильну трикутну піраміду і її властивості, такі як об’єм і площа поверхні. Також коротко буде вивчена усічена піраміда з трикутною основою.

Що значить трикутна піраміда правильна?

У стереометрії можна зустріти наступне визначення піраміди: це просторова фігура, яка складається з двох видів граней — трикутники і одного многокутника. Останній називається «підставою», а трикутники складають бічну поверхню, тому іменуються «бічними гранями». Одна з вершин усіх трикутників перетинається в одній точці, яка називається вершиною піраміди».

Правильна трикутна піраміда — це фігура класу многогранників, яка має рівносторонній трикутник. Якщо опустити з вершини її перпендикулярний відрізок до основи, то він перетне його геометричному центрі, тобто в точці перетину медіан рівностороннього трикутника. Приклад цієї фігури показано нижче на малюнку.

Коли вчитель у школі просить: «Перерахуйте властивості трикутної піраміди правильної», то слід сказати, що вивчається фігура утворена чотирма гранями і чотирма вершинами. Бічні її межі в загальному випадку являють рівносторонні (рівні між собою) трикутники. Фігура має шість ребер: три підстави і три однакових бічних.

Лінійні параметри піраміди

У загальному випадку мова йде про чотирьох параметрах фігури:

  • сторона підстави a;
  • бічне ребро b;
  • висота h;
  • апофема hb (висота бічного трикутника, опущена на сторону основи з вершини піраміди).

Продовжуємо розглядати властивості правильної трикутної піраміди. Висота h з іншими лінійними параметрами пов’язана наступними виразами:

h = √(hb2 — a2/12);

h = √(b2 — a2/3)

У свою чергу, бічне ребро b, апофема hb і сторона a пов’язані таким рівнянням:

b2 = a2/4 + hb2

Оскільки є чотири показника та три рівняння, то для однозначного визначення властивостей правильної трикутної піраміди необхідно знати будь-які два з цих параметрів.

Площа і об’єм фігури

Площа досліджуваної піраміди являє собою суму площ всіх її чотирьох трикутних сторін, причому три з них (бічні) рівні між собою. Нижче зображена розгортка цієї фігури, яка ясно показує всі грані піраміди на площині.

Для визначення площ трикутників скористаємося універсальною формулою: будь трикутник має площу, яка обчислюється як половина твори його висоти на основу. Для підстави трикутника маємо:

So = √3/4*a2

Площа однієї бічної грані Sb1 дорівнює:

Sb1 = 1/2*a*hb

Тоді площа всієї поверхні буде дорівнює:

S = So + 3*Sb1 = √3/4*a2 + 3/2*a*hb

Обсяг фігури можна розрахувати за загальною формулою для багатогранника класу піраміди. Ця формула має вигляд:

V = 1/3*So*h

Оскільки формулу для площі підстави ми привели вище, то обсяг досліджуваної трикутної піраміди обчислюється так:

V = √3/12*a2 *h

Як видно із записаних виразів для V і S, властивості правильної трикутної піраміди залежать від двох лінійних параметрів і однозначно розраховуються з знання їх значень.

Усічена піраміда

Назва цієї фігури говорить сама за себе. Виходить усічена піраміда зі звичайної, якщо зрізати її верхню частину. При цьому площина зрізу повинна бути паралельна площині трикутного підстави. Ця фігура показана нижче.

З малюнка видно, що фігура, утворена двома рівносторонніми трикутниками різних розмірів. Вони називаються підставами піраміди. Бічна поверхня складається з трьох однакових рівнобедрених трапецій. Таким чином, усічена правильна трикутна піраміда кардинальним чином відрізняється від повної.

Важливими властивостями правильної зрізаної трикутної піраміди є площа поверхні та об’єм. Формули для їх обчислення виглядають дещо складніше, ніж аналогічні вирази для повної фігури. Тут не будемо вдаватися в подробиці отримання цих формул, а наведемо їх відразу:

S = 3/2*hb*(a1 + a0) + √3/4*(a12 + a02);

V = √3/12*h*(a12+a02+a0*a1)

Тут a1 і a0 — сторони трикутників різних підстав, h — відстань між підставами, hb — висота трапеції піраміди. У формулу для S перший доданок відповідає площі бічної поверхні піраміди, друге — це площа двох підстав. Із записаних формул для S і V усіченої піраміди видно, що для однозначного визначення її властивостей необхідно знати три лінійні параметри фігури.