Однією з перших тем, що вивчаються в курсі алгебри, є формули скороченого множення. У 7 класі вони застосовуються в найпростіших ситуаціях, де потрібно розпізнати в вираженні одну з формул і виконати розкладання многочлена на множники або, навпаки, швидко звести суму або різницю в квадрат або куб. надалі ФСУ використовують для швидкого розв’язання нерівностей і рівнянь і навіть для обчислення деяких числових виразів без калькулятора.
Як виглядає список формул
Існує 7 основних формул, що дозволяють швидко здійснити множення многочленів у дужках.
Іноді в цей список також включається розкладання для четвертого ступеня, яке випливає з представлених тотожностей і має вигляд:
a⁴ — b⁴ = (a — b)(a + b)(a2 + b2).
Все рівності мають пару (сума — різниця), крім різниці квадратів. Для суми квадратів формула не наводиться.
Решта рівності легко запам’ятовуються:
-
Різниця між квадратом суми і різниці полягає в знаку перед подвоєним твором величин.
- У випадку з сумою і різницею кубів (a ± b) знак збігається зі знаком (a3±b3). Другий співмножник — так званий неповний квадрат, оскільки він нагадує квадратний тричлен, що виникає після розкриття дужок у квадраті суми або різниці. Тут у ситуації з сумою з’являється знак “мінус” перед ab; в іншому випадку замінюється на знак +.
- У кубі суми всі знаки позитивні; у випадку з різницею з’являються мінуси перед 3a2b і b3.
Слід пам’ятати, що ФСУ працюють в будь-якому випадку і для будь-яких величин a і b: це можуть бути як довільні числа, так і цілі вирази.
У ситуації, якщо раптом не виходить згадати, який знак стоїть в формулі перед тим чи іншим доданком, можна розкрити дужки і отримати той же результат, що і після використання формули. Наприклад, якщо проблема виникла при застосуванні ФСУ куба різниці, потрібно записати вихідний вираз і по черзі виконати множення:
(a — b)3 = (a — b)(a — b)(a — b) = (a2 — ab — ab + b2)(a — b) = a3 — a2b — a2b + ab2 — a2b + ab2 + ab2 — b3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3.
В результаті після приведення подібних членів був отриманий такий же многочлен, як і в таблиці. Такі ж маніпуляції можна проводити і з усіма іншими ФСУ.
Застосування ФСУ для вирішення рівнянь
Наприклад, потрібно вирішити рівняння, що містить многочлен 3 ступеня:
x3 + 3×2 + 3x + 1 = 0.
У шкільній програмі не розглядаються універсальні прийоми для вирішення кубічних рівнянь, і подібні завдання найчастіше вирішуються більш простими методами (наприклад, розкладанням на множники). Якщо зауважити, що ліва частина тотожності нагадує куб суми, то рівняння можна записати в більш простому вигляді:
(x + 1)3 = 0.
Корінь такого рівняння обчислюється усно: x = -1.
Аналогічним чином вирішуються нерівності. Для прикладу можна вирішити нерівність x3 — 6×2 + 9x > 0.
В першу чергу необхідно розкласти вираз на множники. Спочатку потрібно винести за дужку x. Після цього слід звернути увагу, що вираз в дужках можна перетворити в квадрат різниці.
Потім необхідно знайти точки, в яких вираз приймає нульові значення, і відзначити їх на числовій прямій. У конкретному випадку це будуть 0 і 3. Потім методом інтервалів визначити, в яких проміжках x буде відповідати умові нерівності.
ФСУ можуть виявитися корисними при виконанні деяких розрахунків без допомоги калькулятора:
7032 — 2032 = (703 + 203)(703 — 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
Крім того, розкладаючи вираз на множники, можна легко виконувати скорочення дробів і спрощення різних алгебраїчних виразів.
Приклади завдань для 7-8 класу
На закінчення розглянемо і вирішимо два завдання на застосування формул скороченого множення з алгебри.
Завдання 1. Спростити вираз:
(m + 3)2 + (3m + 1)(3m — 1) — 2m (5m + 3).
Рішення. В умові завдання необхідно спростити вираз, тобто розкрити дужки, виконати дії множення і зведення в ступінь, а також привести всі подібні доданки. Умовно розділимо вираз на три частини (за кількістю доданків) і по черзі розкриємо дужки, застосовуючи ФСУ там, де це можливо.
- (m + 3)2 = m2 + 6m + 9 (квадрат суми);
- (3m + 1)(3m — 1) = 9m2 — 1 (різниця квадратів);
- В останньому слагаемом необхідно виконати множення: 2m (5m + 3) = 10m2 + 6m.
Підставимо отримані результати в вихідне вираз:
(m2 + 6m + 9) + (9m2 — 1) — (10m2 + 6m).
З урахуванням знаків розкриємо дужки і приведемо подібні доданки:
m2 + 6m + 9 + 9m2 1 — 10m2 — 6m = 8.
Завдання 2. Вирішити рівняння, що містить невідоме k в 5 ступеня:
k⁵ + 4k⁴ + 4k3 — 4k2 — 4k = k3.
Рішення. У цьому випадку необхідно скористатися ФСУ і методом угруповання. Потрібно перенести останнє і передостаннє доданок у праву частину тотожності.
k⁵ + 4k⁴ + 4k3 = k3 + 4k2 + 4k.
З правої і з лівої частини виноситься загальний множник (k2 + 4k +4):
k3(k2 + 4k + 4) = k (k2 + 4k + 4).
Все переноситься в ліву частину рівняння, щоб у правій залишився 0:
k3(k2 + 4k + 4) — k (k2 + 4k + 4) = 0.
Знову необхідно винести спільний множник:
(k3 — k)(k 2 + 4k + 4) = 0.
З першого отриманого співмножника можна винести k. За формулою короткого множення другий множник буде тотожно дорівнює (k + 2)2:
k (k2 — 1)(k + 2)2 = 0.
Використання формули різниці квадратів:
k (k — 1)(k + 1)(k + 2)2 = 0.
Оскільки добуток дорівнює 0, якщо хоча б один із множників нульовий, знайти всі корені рівняння не складе праці:
- k = 0;
- k — 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)2 = 0; k = -2.
На підставі наочних прикладів можна зрозуміти, запам’ятати формули, їх відмінності, а також вирішити кілька практичних задач із застосуванням ФСУ. Завдання прості, і при їх виконанні не повинно виникнути жодних труднощів.
