Властивості

Головні ознаки:

• сума кутів — 360 градусів;
• діагоналі можуть перетинатися в одній точці.

Якщо сума кутів дорівнює 360, це наслідок більш загального випадку – чотирикутника, не має пересічних відрізків. Але для опуклого зазвичай проводять окреме і дуже просте доказ. Якщо всередині опуклого чотирикутника провести діагональ, то вона розіб’є його на два трикутники. Як відомо, сума кутів в трикутнику дорівнює 180. Склавши всі отримані кути, отримуємо величину 360.

Якщо взяти середні точки всіх сторін довільного опуклого чотирикутника і побудувати на них новий, то він виявиться паралелограмом (Теорема Вариньона).

Доказ на наступному фото. Опуклий чотирикутник ABCD є на кожній із сторін точку, яка ділить цю сторону навпіл. Розглянемо відрізок FG. Це середня лінія трикутника DAB, паралельна діагоналі DB. Це випливає з подібності трикутників DAB і FAG.

Аналогічно проводяться міркування для трикутників DBC і EHC. З чого слід паралельність DB і EH. Оскільки відрізки FG і EH паралельні діагоналі DB, то і самі паралельні.

Аналогічно доводиться, що відрізки FE і GH паралельні. Так як противолежащие боку EFGH попарно паралельні, значить, це паралелограм.

Зверніть увагу! Теорема Вариньона справедлива для всіх чотирикутників, неопуклих і самопересекающихся. Якщо взяти середини діагоналей, то можна побудувати ще два паралелограма. Центри всіх трьох паралелограмів опиняться на одній прямій.

Якщо опуклий чотирикутник має властивість взаємної перпендикулярності своїх діагоналей, то суми квадратів його протилежних сторін у нього рівні. Це доводиться за допомогою теореми Піфагора, як показано на наступному малюнку:

Квадрат кожної із сторін виражається через суму квадратів відрізків діагоналей, обмежених вершинами і точкою перетину. Для зручності ми позначаємо їх малими літерами латинського алфавіту, що збігаються з назвою вершин. Потім виписуємо вирази для сум квадратів протилежних сторін:

У правій частині кожного з виразів стоїть одна і та ж сума доданків. Отже, рівні і праві частини між собою, що доводить теорему.

Вписані та описані

Часто потрібно перевірити, не лежать вершини чотирикутника на окружності, чи існує коло, вписане в 4-кутник. Центр описаного кола знаходиться в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін, а центр вписаного – на перетині бісектрис внутрішніх кутів.

Якщо сума протилежних кутів дорівнює 180, то поруч з ними можна описати окружність, іншими словами, існує коло, на якій лежать всі вершини чотирикутника. Його називають вписаним (мається на увазі, що в коло). Вірно і зворотне твердження, тобто виражене у теоремі умову необхідна і достатня.