Завдання на знаходження дистанції між прямою і точкою

Покажемо, як використовувати дані теоретичні відомості для вирішення конкретної задачі. Припустимо, відомі наступна точка і пряма:

M(5; -3);

(x; y) = (3; 1) – α*(0; 2)

Необхідно знайти проекції точки на пряму на площині, а також відстань від M до прямої.

Позначимо проекцію, яку слід знайти, точки M1(x1; y1). Вирішимо цю задачу двома способами, описаними в попередньому пункті.

Спосіб 1. Направляючий вектор v1 має координати (0; 2). Щоб побудувати паралелограм, виберемо належить прямій яку-небудь точку. Наприклад, точку з координатами (3; 1). Тоді вектор другої сторони паралелограма буде мати координати:

(5; -3) – (3; 1) = (2; -4)

Тепер слід обчислити добуток векторів, які задають сторони паралелограма:

[(2; -4)*(0; 2)] = 4

Підставляємо це значення в формулу, отримуємо відстань d від M до прямої:

d = 4/√4 = 2

Спосіб 2. Тепер знайдемо іншим способом не тільки відстань, але і координати проекції M на пряму, як це вимагає умова задачі. Як було сказано вище, для розв’язання задачі необхідно скласти систему рівнянь. Вона прийме вигляд:

(x1-5)*0+(y1+3)*2 = 0;

(x1; y1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Вирішуємо цю систему:

y1 = -3;

x1 = 3

Проекція вихідної точки координати має M1(3; -3 ). Тоді шукана відстань дорівнює:

d = |MM1| = √(4+0) = 2

Як бачимо, обидва способи вирішення дали однаковий результат, що говорить про правильність виконаних математичних операцій.