Точка, пряма і відстань між ними

Припустимо, що є деяка точка і пряма:

P2(x1; y1);

(x; y) = (x0; y0) + α*(a; b)

Відстань між цими геометричними об’єктами буде відповідати довжині вектора, початок якого лежить в точці P2, а кінець знаходиться в такій точці P зазначеної прямої, для якої вектор P2P цієї прямої перпендикулярний. Точка P називається проекцією точки P2 на розглянуту пряму.

Нижче наведено малюнок, на якому зображена точка P2, її відстань d до прямої, а також направляючий вектор v1. Також на прямий обрана довільна точка P1 і від неї до P2 проведено вектор. Точка P тут збігається з місцем, де перпендикуляр перетинає пряму.

Видно, що помаранчеві та червоні стрілки утворюють паралелограм, сторонами якого є вектора P1P2 і v1, а висотою – d. З геометрії відомо, що для знаходження висоти паралелограма слід розділити його площа на довжину основи, на яку опущено перпендикуляр. Оскільки площа паралелограма обчислюється як векторний добуток його сторін, то отримуємо формулу для розрахунку d:

d = |[P1P2*v1]|/|v1|

Всі вектори і координати точок в цьому виразі відомі, тому можна їм користуватися без виконання яких-небудь перетворень.

Вирішити цю задачу можна було б інакше. Для цього слід записати два рівняння:

• скалярний твір P2P на v1 має дорівнювати нулю, оскільки ці вектори взаємно перпендикулярні;
• координати точки P повинні задовольняти рівнянню прямої.

Цих рівнянь достатньо, щоб знайти координати P, а потім і довжину d за формулою, наведеною у попередньому пункті.