Завдання з точкою і площиною

Нехай дана точка M(1; -1; 3) і площина, яка описується наступним загальним рівнянням:

-x + 3*y -2*z + 4 = 0

Слід обчислити координати проекції на площину точки і розрахувати відстань між цими геометричними об’єктами.

Для початку побудуємо рівняння прямої, що проходить через М і перпендикулярної зазначеній площині. Воно має вигляд:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Позначимо точку, де ця пряма перетинає площину, M1. Рівності для площини і прямої повинні виконуватися, якщо в них підставити координати M1. Записуючи в явному вигляді рівняння прямої, отримуємо наступні чотири рівності:

-x1 + 3*y1 -2*z1 + 4 = 0;

x1 = 1 – α;

y1 = -1 + 3*α;

z1 = 3 – 2*α

З останньої рівності одержимо параметр α, потім підставимо його в передостаннє і в друге вираз, отримуємо:

α = (3-z1)/2;

y1 = -1 + 3*(3-z1)/2 = -3/2*z1 + 3,5;

x1 = 1 – (3-z1)/2 = 1/2*z1 – 1/2

Вираз для y1 x1 і підставимо в рівняння площини, маємо:

-1*(1/2*z1 – 1/2) + 3*(-3/2*z1 + 3,5) -2*z1 + 4 = 0

Звідки отримуємо:

z1 = 15/7

Тоді:

y1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;

x1 = 1/2*15/7 – 1/2 = 4/7

Ми визначили, що проекція точки M на задану площину відповідає координатам (4/7; 2/7; 15/7).

Тепер розрахуємо відстань |MM1|. Координати відповідного вектора дорівнюють:

MM1(-3/7; 9/7; -6/7)

Шукана відстань дорівнює:

d = |MM1| = √126/7 ≈ 1,6