Вивчення властивостей фігур у просторі і на площині неможливо без знання відстаней між точкою і такими геометричними об’єктами, як пряма і площина. У даній статті ми покажемо, як знаходити ці відстані, розглядаючи проекцію точки на площину і на пряму.

Рівняння прямої для двовимірного та тривимірного простору

Розрахунок відстаней точки до прямої і площини здійснюється з використанням її проекції на ці об’єкти. Щоб вміти знаходити ці проекції, слід знати, у якому вигляді задаються рівняння для прямих і площин. Почнемо з перших.

Пряма являє собою сукупність точок, кожну з яких можна отримати з попередньої за допомогою перенесення на паралельні один одному вектора. Наприклад, є точка M і N. З’єднує їх вектор MN переводить M N. Є також третя точка P. Якщо вектор MP або NP паралельний MN, тоді всі три точки лежать на одній прямій і утворюють її.

В залежності від розмірності простору рівняння, що задає пряму, може змінювати свою форму. Так, всім відома лінійна залежність координати y від x у просторі описує площину, яка паралельна третьої осі z. У зв’язку з цим у даній статті будемо розглядати тільки векторне рівняння прямої. Воно має однаковий вигляд для площини і тривимірного простору.

У просторі пряму можна задати наступним виразом:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a; b; c)

Тут значення координат з нульовими індексами відповідають належить прямій деякої точки, u(a; b; c) – координати направляючого вектора, який лежить на даній прямій, α – довільне дійсне число, змінюючи які можна отримати всі точки прямої. Це рівняння називається векторним.

Часто наведене рівняння записують у розкритому вигляді:

x= x0 + α*a;

y= y0 + α*b;

z= z0 + α*c

Аналогічним чином можна записати рівняння прямої, що знаходиться в площині, тобто в двовимірному просторі:

(x; y) = (x0; y0 ) + α*(a; b);

x= x0 + α*a;

y= y0 + α*b