Потік вектора напруженості електричного поля. Розбір теореми Гауса

У фізиці закон Гаусса про потік вектора напруженості електричного поля є правилом, що зв’язує розподіл зарядів. Розглянута поверхня може бути закритою, охоплює обсяг, такий, як сферична поверхня.

Вперше закон був сформульований Жозеф-Луї Лагранж в 1773 році, а потім Карлом Фрідріхом Гауссом у 1813 році в контексті тяжіння еліпсоїдів. Це одне з чотирьох рівнянь Максвелла, що лежать в основі класичної електродинаміки. Закон Гаусса можна використовувати для виведення закону Кулона і навпаки.

Математичний аспект

Закон Гаусса має математичне схожість з низкою законів в інших областях фізики, таких, як теорії магнетизму і гравітації. Фактично, будь-який закон зворотних квадратів можна сформулювати аналогічно закону Гауса. Наприклад, він сам по суті еквівалентний закону Кулона зворотного квадрата.

Закон може бути виражений математично з використанням векторного числення в інтегральній формі та диференціальній формі; обидва еквівалентні, так як вони пов’язані теоремою расходимости, також званої теореми Гауса. Кожна з цих форм, у свою чергу, також може бути виражена двома способами: в термінах залежності між електричним полем E і повним електричним зарядом або в термінах поля електричного зміщення D і вільного електричного заряду.

Інтегрування

Якщо електричне поле відомо повсюдно, закон Гауса дозволяє знайти розподіл електричного заряду: заряд в будь даній області може бути виведений шляхом інтегрування електричного поля, щоб знайти потік вектора напруженості електричного поля.

Обернена задача (коли розподіл електричного заряду відомо і електричне поле повинно бути обчислено) набагато складніше. Загальний потік вектора напруженості електричного поля через дану поверхню дає мало інформації про електричному полі і може входити і виходити з поверхні довільно складних схемах.

Винятком є наявність певної симетрії в задачі, яка вимагає, щоб електричне поле проходило через поверхню рівномірним чином. Якщо загальний потік вектора напруженості електричного поля відомий, саме поле може бути виведено в кожній точці. Загальні приклади симетрій, які піддаються закону Гауса, включають циліндричну симетрію, плоску симетрію і сферичну симетрію.

Вільний заряд

Електричний заряд, який виникає в найпростіших ситуаціях з підручника, буде класифікуватися як «вільний заряд», наприклад, заряд, що переноситься статичною електрикою або заряд на пластинах конденсатора. Навпаки, «зв’язаний заряд» виникає тільки в контексті діелектричних (поляризуемых) матеріалів. (Усі матеріали в деякій мірі поляризуемы.) Коли такі матеріали містяться у зовнішнє електричне поле, електрони залишаються пов’язаними зі своїми відповідними атомами, але зміщують мікроскопічне відстань у відповідь на поле, так що вони більше на одній стороні атома, ніж на іншій. Всі ці мікроскопічні зміщення в сумі дають макроскопічне розподіл чистого заряду, що становить «зв’язаний заряд».

Хоча мікроскопічно весь заряд в основному однаковий, часто існують практичні причини бажати розглядати зв’язаний заряд інакше, ніж вільний заряд. Результатом є те, що більш фундаментальний закон Гаусса в термінах E (вище) іноді приводиться в еквівалентній формі нижче, тобто в термінах D і тільки вільного заряду.

Силові лінії

Закон Гаусса може бути витлумачена в термінах силових ліній поля наступним чином.

Потік вектора напруженості електричного поля через поверхню залежить як від його величини, так і від напряму його ліній. У загальному випадку позитивний потік визначається цими лініями, що виходять з поверхні, а негативний — лініями, що входять в цю поверхню. Це призводить до того, що позитивні заряди викликають позитивний відгук, а негативні заряди створюють негативний. Ці лінії електричного поля будуть нескінченно зменшуватися по силі на одиницю відстані від джерела квадрата заряду. Чим більше число силових ліній, що виходять від заряду, тим більше величина заряду, і чим ближче один до одного силові лінії, тим більше величина електричного поля.

Це природний результат того, що електричне поле стає слабшим у міру видалення від зарядженої частинки, але площа поверхні також збільшується, так що сумарне електричне поле, що виходить з цієї частки, залишиться колишнім. Іншими словами, замкнутий інтеграл електричного поля і скалярний добуток похідної площі будуть дорівнюють додається сумарному заряду, поділеному на діелектричну проникність вільного простору.

Відмінності

Строго кажучи, закон Гаусса не може бути виведений з одного закону Кулона, оскільки закон Кулона дає електричне поле тільки за рахунок окремого точкового заряду. Однак закон Гаусса може бути доведений із закону Кулона, якщо, крім того, передбачається, що електричне поле підкоряється принципу суперпозиції. Принцип суперпозиції свідчить, що результуюче поле є векторною сумою полів, що генеруються кожною часткою (або інтегралом, якщо заряди рівномірно розподілені в просторі).

Зверніть увагу, що оскільки закон Кулона застосовується тільки до стаціонарних зарядам, немає ніяких підстав очікувати, що закон Гаусса буде діяти для рухомих зарядів, грунтуючись тільки на цьому висновку. Фактично, закон Гаусса насправді діє для рухомих зарядів, і в цьому відношенні закон Гаусса є більш загальним, ніж закон Кулона.

Строго кажучи, закон Кулона не може бути виведений з одного закону Гауса, оскільки закон Гаусса не дає ніякої інформації щодо скручування E (див. «Розкладання Гельмгольца і закон Фарадея»). Тим не менше, закон Кулона може бути доведений із закону Гауса, якщо припустити, що електричне поле точкового заряду сферично симетричну (це припущення, як і сам закон Кулона, точно вірно, якщо заряд є стаціонарним, і приблизно вірно, якщо заряд знаходиться в русі).

Приклади та візуалізація

Електричне поле є векторним полем, величина і напрям якого визначено у кожній точці простору. Іншим прикладом векторного поля, яке легше візуалізувати, є швидкість води в потоці вектора напруженості через замкнену поверхню. Це величина того, що поле представляє, проходячи через область. Загальний потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі залежить від напруженості поля, розміру площі поверхні, через яку він проходить, і від того, як область орієнтована відносно поля. Ви можете думати про нього як про кількість чого-те, що перетинає поверхню.

Поверхня являє собою двовимірну (реальну або уявну) кордон, може бути відкритою або закритою. Відкрита поверхня може бути областю двері, областю аркуша паперу, областю чаші і т. д. Закритій поверхнею може бути поверхня зі сфери або куба і т. д. Як нам переконливо доводить теореми Остроградського-Гауса-потік вектора напруженості вимірюється в єдиний момент часу. Потік — це загальна кількість чого-небудь, що перетинає поверхню, але це не щось на одиницю площі і т. д.

Максимальна кількість ліній поля перехоплюється, коли одиничний вектор, нормальний до поверхні, n, паралельний полю E, в той час, як ніякі лінії поля не проходять через поверхню, коли n перпендикулярно полю. Число ліній поля, що проходять через область A, прямо пропорційно A * cosθ, де θ — кут між напрямком поля і одиничним вектором n, перпендикулярним поверхні. Це призводить до визначення електричного потоку.

ΔΦE — електричний потік через деяку невелику область ΔA, нормаль якої становить кут θ з напрямком електричного поля. Е — це величина поля. Одиниця СІ потоку — Нм2 / с. Це і є відповідь на питання, в чому вимірюється потік вектора напруженості.

Область E

E — векторна величина. Корисно також представляти область вектором A A. Довжина цього вектора дорівнює розміру області, а її орієнтація перпендикулярна області. Це в напрямку нормального п. У нас є A = An. Нормаль до поверхні може вказувати у двох різних напрямках. Для замкнутої поверхні умовно нормаль вказує назовні. З нашим визначенням A ми можемо записати формулу потоку вектора напруженості у вигляді точкового твори E і ΔA.

Сигнал через яку-небудь поверхню може бути позитивним або негативним, оскільки косинус може бути позитивним або негативним. Потік через замкнену поверхню є позитивним, якщо є чистий зовнішній потік, і негативним, якщо є чистий внутрішній потік. У нас є чистий потік назовні, якщо всередині замкнутої поверхні є джерело, і чистий потік всередину, якщо всередині замкнутої поверхні є стік.

Кубічна поверхня

Розглянемо електричний потік, що проходить через кубічну поверхню з двома гранями, перпендикулярними однорідному електричному полю. Потік, що проходить через верхню, нижню, передню і задню сторони куба, дорівнює нулю, оскільки ці сторони паралельні польовим ліній і, отже, не перетинають ні одну з них. Вектор нормалі n перпендикулярний поля для цих сторін, і cosθ дорівнює нулю. Як показано, лінії поля паралельні вектору нормалі n для правої сторони, тому потік через цю сторону дорівнює ΦE = EA. Лінії поля антипараллельны вектору нормалі n для лівої сторони, тому потік через цю сторону дорівнює ΦE = -EA. Загальний потік через поверхню куба є сумою потоків через усі сторони і дорівнює нулю.

Потік векторного поля через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю, якщо в обсязі, оточеному поверхнею, немає джерела або поглинача векторного поля. Джерелами і поглиначами електричного поля заряди.

Радіус R

Уявіть собі сферу радіуса R з рівномірно розподіленим всередині зарядом. Симетрія розподілу заряду вимагає сферично-симетричного електричного поля. Поле повинно бути спрямоване радіально всередину до центру або назовні від центру сфери. Якщо у нас сферично-симетричний розподіл заряду, то, незалежно від того, як ми орієнтуємо нашу систему координат, розподіл завжди виглядає однаково. Тому поле також має виглядати однаково, незалежно від того, як ми орієнтуємо нашу систему координат. Поле, яке не радіальне, буде виглядати інакше, якщо ми повернемо нашу систему координат, тобто якщо ми подивимося на неї під іншим кутом.

Тому для сферичного симетричного розподілу заряду величина E може залежати тільки від радіальної координати r і заряду Q. Щоб визначити E як функцію від r, ми використовуємо закон Гаусса. Намалюємо сферичну гауссову поверхню радіуса r з центром в центрі сферичного розподілу заряду. Радіус r поверхні може бути більше або менше радіуса R розподілу.

Закон Гаусса — одне з двох тверджень, що описують електричні і магнітні потоки. Закон Гаусса про електриці свідчить, що електричний потік через будь-яку замкнуту поверхню пропорційний сумарному електричного заряду, що додається поверхнею. Закон передбачає, що існують ізольовані електричні заряди, і що подібно зарядам, вони відштовхуються один від одного, а на відміну від зарядів, притягаються.

Закон Гаусса про магнетизм свідчить, що магнітний потік через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю; цей закон узгоджується з спостереженням, що ізольовані магнітні полюси (монополи) не існують.

Математичні формулювання

Математичні формулювання для цих двох законів — разом з законом Ампера (щодо магнітного ефекту зміни електричного поля або струму) та законом індукції Фарадея (щодо електричного ефекту зміни магнітного поля) — зібрані в наборі, який відомий як Рівняння Максвелла (див.). Вони складають основу єдиної електромагнітної теорії.

Зв’язку

Зв’язок між векторними полями у фізиці та їх джерелами, наприклад, між гравітаційним полем і масами, між електричним полем і електричними зарядами, а також між магнітним полем і магнітними диполями можна виразити дивно простим і елегантним чином, відомим як закон Гаусса. З практичної точки зору закон Гаусса часто корисний при визначенні повного електричного або гравітаційного поля, що виникає на підставі розподілів зарядів або мас, які мають достатню симетрію.

У цих ситуаціях часто простіше використовувати закон Гаусса, ніж складати всі вклади в загальне поле, що припадають на кожну окрему частину заряду або розподілу маси.

Векторні потоки

Закон Гаусса включає в себе величину, звану потоком (також відомим як інтегральний потік або повний потік) електричного, гравітаційного чи магнітного поля з уявної двовимірної поверхні, коли ця поверхня є безпосередній кордоном тривимірного обсягу. Розглянута двовимірна поверхня повинна розглядатися як «намальована в просторі», тобто це суто математична конструкція, яку не слід плутати з будь-якої матеріальної поверхнею, яка може бути частиною фізичної ситуації.

Наприклад, ви можете уявити тривимірну частина простору у формі кулі, і розглянута поверхня буде його граничною поверхнею, яка є сферою.

Грубо кажучи, теорема Гауса свідчить, що при довільній такий двовимірної поверхні, якщо підсумувати нормальні компоненти поля по всій поверхні, результат, пропорційний сумарному заряду, що додається поверхнею, тобто заряду, присутнього в частині простору, межею якої є поверхня.

Висновок

Концепція потоку є важливою і поширеною у фізиці. У разі речовин або енергії, які фізично протікають через простір і, зокрема, через дану поверхню, потік відноситься до швидкості потоку (речовини або енергії) через поверхню. Але можна визначити потік вектора напруженості через поверхню, навіть якщо, як і у випадку електричного, гравітаційного чи магнітного поля, векторне поле не описує потік якогось фізичного об’єкта.