Якщо на площині є чотири точки, з яких ніякі три не належить одній прямій, то їх можна попарно з’єднати відрізками. В результаті вийде фігура з чотирма кутами, що містить дві діагоналі, при перетині яких вийде опуклий чотирикутник.

Види

Існує кілька видів фігур з чотирма кутами, але не всі вони є опуклими. Зліва малюнок відображає опуклий чотирикутник, всі його внутрішні точки знаходяться в одній півплощини відносно прямої l, на якій лежить сторона AD. Для середнього дана умова виконується, але його не можна вважати опуклим, тому що його сторони перетинаються. Такі чотирикутники називаються самопересекающимися. Правий теж не є опуклим, так як дві його точки B і C лежать в різних полуплоскостях щодо розбиття прямої l.

На підставі вищесказаного дамо визначення. Опуклим чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. Головна умова: ніякі три точки не повинні одночасно лежати на одній прямій, а з’єднують відрізки перетинатися.

Види опуклих чотирикутників:

• прямокутник;
• паралелограм;
• трапеція;
• ромб;
• квадрат.

Перераховані відносини між множинами фігур спрощують докази теорем (пропозицій, що виражають властивості). Наприклад, якщо теорема доведена для паралелограма (буде паралелограм опуклим? і т. д.), то вона буде вірна і для будь-якого відповідного підмножини фігур. Якщо ж доведена загальна теорема для опуклого чотирикутника, то вона буде вірна і для паралелограма, і для трапеції.

Властивості

Головні ознаки:

• сума кутів — 360 градусів;
• діагоналі можуть перетинатися в одній точці.

Якщо сума кутів дорівнює 360, це наслідок більш загального випадку – чотирикутника, не має пересічних відрізків. Але для опуклого зазвичай проводять окреме і дуже просте доказ. Якщо всередині опуклого чотирикутника провести діагональ, то вона розіб’є його на два трикутники. Як відомо, сума кутів в трикутнику дорівнює 180. Склавши всі отримані кути, отримуємо величину 360.

Якщо взяти середні точки всіх сторін довільного опуклого чотирикутника і побудувати на них новий, то він виявиться паралелограмом (Теорема Вариньона).

Доказ на наступному фото. Опуклий чотирикутник ABCD є на кожній із сторін точку, яка ділить цю сторону навпіл. Розглянемо відрізок FG. Це середня лінія трикутника DAB, паралельна діагоналі DB. Це випливає з подібності трикутників DAB і FAG.

Аналогічно проводяться міркування для трикутників DBC і EHC. З чого слід паралельність DB і EH. Оскільки відрізки FG і EH паралельні діагоналі DB, то і самі паралельні.

Аналогічно доводиться, що відрізки FE і GH паралельні. Так як противолежащие боку EFGH попарно паралельні, значить, це паралелограм.

Зверніть увагу! Теорема Вариньона справедлива для всіх чотирикутників, неопуклих і самопересекающихся. Якщо взяти середини діагоналей, то можна побудувати ще два паралелограма. Центри всіх трьох паралелограмів опиняться на одній прямій.

Якщо опуклий чотирикутник має властивість взаємної перпендикулярності своїх діагоналей, то суми квадратів його протилежних сторін у нього рівні. Це доводиться за допомогою теореми Піфагора, як показано на наступному малюнку:

Квадрат кожної із сторін виражається через суму квадратів відрізків діагоналей, обмежених вершинами і точкою перетину. Для зручності ми позначаємо їх малими літерами латинського алфавіту, що збігаються з назвою вершин. Потім виписуємо вирази для сум квадратів протилежних сторін:

У правій частині кожного з виразів стоїть одна і та ж сума доданків. Отже, рівні і праві частини між собою, що доводить теорему.

Вписані та описані

Часто потрібно перевірити, не лежать вершини чотирикутника на окружності, чи існує коло, вписане в 4-кутник. Центр описаного кола знаходиться в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін, а центр вписаного – на перетині бісектрис внутрішніх кутів.

Якщо сума протилежних кутів дорівнює 180, то поруч з ними можна описати окружність, іншими словами, існує коло, на якій лежать всі вершини чотирикутника. Його називають вписаним (мається на увазі, що в коло). Вірно і зворотне твердження, тобто виражене у теоремі умову необхідна і достатня.

Розрахунок площі

Площа, яку має будь-який опуклий чотирикутник, дорівнює половині добутку довжин діагоналей на синус кута між ними. Доведемо це правило.

Тут знову допоможе теорема Вариньона (ми маємо “великий” паралелограм, про який відразу не було сказано). Проведемо прямі, паралельні діагоналях, через вершини A, B, C, D вихідного прямокутника. Ми отримаємо паралелограм EFGH. Його площа дорівнює сумі площ паралелограмів AFBO, BGCO, CHDO, DEAO. Але кожен з перерахованих ділиться своєю діагоналлю на пару трикутників з рівними площами. З іншого боку, в силу паралельності діагоналей ADCD сторонам зовнішнього паралелограма, ми можемо застосувати формулу площі:

Корисне відео

Підіб’ємо підсумки

Фігуру, яка складається з чотирьох кутів, можна часто побачити в звичайному житті, таку форму зазвичай мають земельні ділянки, будівлі, паралелограми служать для побудови векторних базисів на площині. Не випадково 4-косинці добре вивчено і встановлено велике число властивостей, пов’язаних з ними.