Прості системи угруповання

Виходячи з свого значення, система числення може розглядатися як метод групування чисел. У чистому вигляді проста система угруповання являє собою призначення особливих імен для невеликих чисел, бази b і її повноважень b2, b3 і т. д., до ступеня bk, достатній для подання чисел, які дійсно необхідні для використання. Проміжні числа потім формуються шляхом додавання, кожен символ повторюється необхідну кількість разів, так само як 23 написано – XXIII – римськими цифрами.

Самий ранній приклад системи числення такого типу – схема, що зустрічається в єгипетських ієрогліфах. Її використовували стародавні єгиптяни для письма на камені.

Позиційні системи числення

До них відносяться ті, в яких позиція (розряд) при запису числа визначає його значення. Система десяткових чисел є прикладом позиційної системи, в якій після того, як база b була прийнята, цифр 1, 2, …, b-1 присвоюються спеціальні імена, а всі більш великі числа записуються як послідовності цих цифр. Вона єдина серед різних систем числення, яка може використовуватися для опису великих чисел. Це обумовлено тим, що кожен з інших видів дає спеціальні імена різними номерами, більшим, ніж b, і для всіх чисел потрібно нескінченне число найменувань. Успіх позиційної системи числення залежить від того, що для довільної бази b кожне число N може бути записано єдиним чином у вигляді:

N = anbn + an – 1bn – 1 + ⋯ + a1b + a0,

де a, an – 1, …, a0 – цифри; тобто числа з групи 0, 1, …, b – 1. Тоді N підставі b може бути представлено послідовністю символів anan – 1 … a1a0. Саме цей принцип використовувався в мультиплікативних системах угруповання. Позиційна система виникає з мультиплікативної просто шляхом виключення імен ступенів b, b2 і т. д. і визначається в залежності від положення цифр для подачі цієї інформації. Однак тоді необхідно використовувати деякий символ нуля, щоб вказати будь-які відсутні повноваження на заснування; інакше 792 може означати, наприклад, або 7M9X2 (тобто 7 092), або 7C9X2 (792).