Вивчення властивостей фігур у просторі і на площині неможливо без знання відстаней між точкою і такими геометричними об’єктами, як пряма і площина. У даній статті ми покажемо, як знаходити ці відстані, розглядаючи проекцію точки на площину і на пряму.
Рівняння прямої для двовимірного та тривимірного простору
Розрахунок відстаней точки до прямої і площини здійснюється з використанням її проекції на ці об’єкти. Щоб вміти знаходити ці проекції, слід знати, у якому вигляді задаються рівняння для прямих і площин. Почнемо з перших.
Пряма являє собою сукупність точок, кожну з яких можна отримати з попередньої за допомогою перенесення на паралельні один одному вектора. Наприклад, є точка M і N. З’єднує їх вектор MN переводить M N. Є також третя точка P. Якщо вектор MP або NP паралельний MN, тоді всі три точки лежать на одній прямій і утворюють її.
В залежності від розмірності простору рівняння, що задає пряму, може змінювати свою форму. Так, всім відома лінійна залежність координати y від x у просторі описує площину, яка паралельна третьої осі z. У зв’язку з цим у даній статті будемо розглядати тільки векторне рівняння прямої. Воно має однаковий вигляд для площини і тривимірного простору.
У просторі пряму можна задати наступним виразом:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a; b; c)
Тут значення координат з нульовими індексами відповідають належить прямій деякої точки, u(a; b; c) – координати направляючого вектора, який лежить на даній прямій, α – довільне дійсне число, змінюючи які можна отримати всі точки прямої. Це рівняння називається векторним.
Часто наведене рівняння записують у розкритому вигляді:
x= x0 + α*a;
y= y0 + α*b;
z= z0 + α*c
Аналогічним чином можна записати рівняння прямої, що знаходиться в площині, тобто в двовимірному просторі:
(x; y) = (x0; y0 ) + α*(a; b);
x= x0 + α*a;
y= y0 + α*b
Рівняння площини
Щоб вміти знаходити відстань від точки до площин проекцій, необхідно знати, як задається площину. Так само, як і пряму, її можна представити декількома способами. Тут розглянемо один єдиний: загальне рівняння.
Припустимо, що точка M(x0; y0; z0) належить площині, а вектор n(A; B; C) перпендикулярний їй, тоді для всіх точок (x; y; z) площині справедливим буде рівняння:
A*x + B*y + C*z + D = 0, де D = -1*(A*x0 + B*y0 + C*z0)
Слід запам’ятати, що в цьому загальному рівнянні площини коефіцієнти A, B і C є координатами нормальної до площини вектора.
Розрахунок відстаней за координатами
Перед тим як переходити до розгляду проекцій на площину точки на пряму, слід нагадати, як слід розраховувати відстань між двома відомими точками.
Нехай є дві просторові точки:
A1(x1; y1; z1) та А2(x2; y2; z2)
Тоді дистанція між ними обчислюється за формулою:
A1A2 = √( (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2)
За допомогою цього виразу визначають довжину вектора A1A2.
Для випадку на площині, коли дві задані точки всього парою координат, можна записати аналогічне рівність без присутності в ньому члена з z:
A1A2 = √( (x2-x1)2+(y2-y1)2)
Тепер розглянемо різні випадки проекції на площині точки на пряму і на площину в просторі.
Точка, пряма і відстань між ними
Припустимо, що є деяка точка і пряма:
P2(x1; y1);
(x; y) = (x0; y0) + α*(a; b)
Відстань між цими геометричними об’єктами буде відповідати довжині вектора, початок якого лежить в точці P2, а кінець знаходиться в такій точці P зазначеної прямої, для якої вектор P2P цієї прямої перпендикулярний. Точка P називається проекцією точки P2 на розглянуту пряму.
Нижче наведено малюнок, на якому зображена точка P2, її відстань d до прямої, а також направляючий вектор v1. Також на прямий обрана довільна точка P1 і від неї до P2 проведено вектор. Точка P тут збігається з місцем, де перпендикуляр перетинає пряму.
Видно, що помаранчеві та червоні стрілки утворюють паралелограм, сторонами якого є вектора P1P2 і v1, а висотою – d. З геометрії відомо, що для знаходження висоти паралелограма слід розділити його площа на довжину основи, на яку опущено перпендикуляр. Оскільки площа паралелограма обчислюється як векторний добуток його сторін, то отримуємо формулу для розрахунку d:
d = |[P1P2*v1]|/|v1|
Всі вектори і координати точок в цьому виразі відомі, тому можна їм користуватися без виконання яких-небудь перетворень.
Вирішити цю задачу можна було б інакше. Для цього слід записати два рівняння:
- скалярний твір P2P на v1 має дорівнювати нулю, оскільки ці вектори взаємно перпендикулярні;
- координати точки P повинні задовольняти рівнянню прямої.
Цих рівнянь достатньо, щоб знайти координати P, а потім і довжину d за формулою, наведеною у попередньому пункті.
Завдання на знаходження дистанції між прямою і точкою
Покажемо, як використовувати дані теоретичні відомості для вирішення конкретної задачі. Припустимо, відомі наступна точка і пряма:
M(5; -3);
(x; y) = (3; 1) – α*(0; 2)
Необхідно знайти проекції точки на пряму на площині, а також відстань від M до прямої.
Позначимо проекцію, яку слід знайти, точки M1(x1; y1). Вирішимо цю задачу двома способами, описаними в попередньому пункті.
Спосіб 1. Направляючий вектор v1 має координати (0; 2). Щоб побудувати паралелограм, виберемо належить прямій яку-небудь точку. Наприклад, точку з координатами (3; 1). Тоді вектор другої сторони паралелограма буде мати координати:
(5; -3) – (3; 1) = (2; -4)
Тепер слід обчислити добуток векторів, які задають сторони паралелограма:
[(2; -4)*(0; 2)] = 4
Підставляємо це значення в формулу, отримуємо відстань d від M до прямої:
d = 4/√4 = 2
Спосіб 2. Тепер знайдемо іншим способом не тільки відстань, але і координати проекції M на пряму, як це вимагає умова задачі. Як було сказано вище, для розв’язання задачі необхідно скласти систему рівнянь. Вона прийме вигляд:
(x1-5)*0+(y1+3)*2 = 0;
(x1; y1) = (3; 1)-α*(0; 2)
Вирішуємо цю систему:
y1 = -3;
x1 = 3
Проекція вихідної точки координати має M1(3; -3 ). Тоді шукана відстань дорівнює:
d = |MM1| = √(4+0) = 2
Як бачимо, обидва способи вирішення дали однаковий результат, що говорить про правильність виконаних математичних операцій.
Проекція точки на площину
Тепер розглянемо, що являє собою проекція точки, заданої в просторі на деяку площину. Нескладно здогадатися, що цією проекцією також є точка, яка разом з вихідної утворює перпендикулярний площині вектор.
Припустимо, що проекція на площину точки М має координати такі:
M1(x1; y1; z1)
Сама площина описується рівнянням:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Виходячи з цих даних, ми можемо скласти рівняння прямої, що перетинає площину під прямим кутом і проходить через M і M1:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(A; B; C)
Тут змінні з нульовими індексами – координати точки M. Розрахувати положення на площині точки M1 можна виходячи з того, що її координати повинні задовольняти обом рівнянням, записаним. Якщо цих рівнянь при розв’язуванні задачі буде недостатньо, то можна використовувати умову паралельності MM1 і направляючого вектора для заданої площині.
Очевидно, що проекція точки, що належить площині, що збігається сама із собою, а відповідне відстань дорівнює нулю.
Завдання з точкою і площиною
Нехай дана точка M(1; -1; 3) і площина, яка описується наступним загальним рівнянням:
-x + 3*y -2*z + 4 = 0
Слід обчислити координати проекції на площину точки і розрахувати відстань між цими геометричними об’єктами.
Для початку побудуємо рівняння прямої, що проходить через М і перпендикулярної зазначеній площині. Воно має вигляд:
(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)
Позначимо точку, де ця пряма перетинає площину, M1. Рівності для площини і прямої повинні виконуватися, якщо в них підставити координати M1. Записуючи в явному вигляді рівняння прямої, отримуємо наступні чотири рівності:
-x1 + 3*y1 -2*z1 + 4 = 0;
x1 = 1 – α;
y1 = -1 + 3*α;
z1 = 3 – 2*α
З останньої рівності одержимо параметр α, потім підставимо його в передостаннє і в друге вираз, отримуємо:
α = (3-z1)/2;
y1 = -1 + 3*(3-z1)/2 = -3/2*z1 + 3,5;
x1 = 1 – (3-z1)/2 = 1/2*z1 – 1/2
Вираз для y1 x1 і підставимо в рівняння площини, маємо:
-1*(1/2*z1 – 1/2) + 3*(-3/2*z1 + 3,5) -2*z1 + 4 = 0
Звідки отримуємо:
z1 = 15/7
Тоді:
y1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;
x1 = 1/2*15/7 – 1/2 = 4/7
Ми визначили, що проекція точки M на задану площину відповідає координатам (4/7; 2/7; 15/7).
Тепер розрахуємо відстань |MM1|. Координати відповідного вектора дорівнюють:
MM1(-3/7; 9/7; -6/7)
Шукана відстань дорівнює:
d = |MM1| = √126/7 ≈ 1,6
Три проекції точки
Під час виготовлення креслень часто доводиться одержувати проекції перерізів на три взаємно перпендикулярні площини. Тому корисно розглянути, чому будуть дорівнювати проекції деякої точки M з координатами (x0; y0; z0) на три координатні площини.
Не важко показати, що площина xy описується рівнянням z = 0, площина xz відповідає виразу y = 0, а залишкова площину yz позначається рівнянням x = 0. Неважко здогадатися, що проекції точки на 3 площині будуть рівні:
для x = 0: (0; y0; z0);
для y = 0: (x0; 0 ; z0);
для z = 0: (x0; y0; 0 )
Де важливо знати проекції точки і її відстані до площин?
Визначення положення проекції точок на задану площину важливо при знаходженні таких величин, як площа поверхні та об’єм для похилих призм і пірамід. Наприклад, відстань від вершини піраміди до площині підстави є заввишки. Остання входить у формулу для об’єму цієї фігури.
Розглянуті формули і методики визначення проекцій і відстаней від точки до прямої і площини є досить простими. Важливо лише запам’ятати відповідні форми рівняння площини і прямої, а також мати гарну просторову уяву, щоб успішно їх застосовувати.
