Доказ властивостей 2, 3 і 4

Розглянемо спочатку властивості 2 і 3. На малюнку нижче показаний прямокутник, на сторонах якого побудовані три трикутники:

ABC1, ABC2 і ABC3

Згідно з формулою знаходження площі трикутника, для них можна записати:

S1 = 1/2*h1*AB;

S2 = 1/2*h2*AB;

S3 = 1/2*h3*AB

Видно, що всі висоти hi розглянутих трикутників дорівнюють довжині сторони h прямокутника. Це означає, що і їх площі дорівнюють:

S1 = S2 = S3

Тепер запишемо формулу для площі S прямокутника і поділимо S на площу одного із зображених трикутників, отримаємо:

S = AB*h;

S/S1 = AB*h/(1/2*h*AB) = 2

Таким чином, прямокутник має площу в два рази більше, ніж будь-який із зображених трикутників, тобто ми довели друге і третє властивості.

Що стосується можливості вписування з прямими кутами чотирикутника в коло, то тут слід міркувати так: проведемо діагоналі фігури, вони перетнуться в точці C. Оскільки ця точка знаходиться на однаковій відстані від чотирьох вершин прямокутника, то вона може служити центром окружності. Якщо радіус кола дорівнює половині довжини діагоналі, то лінія колу пройде через усі чотири вершини прямокутника, тобто він виявиться вписаним в неї.