Вивчення геометрії починається з розгляду найпростіших фігур на площині, які легко уявити, використовуючи абстрактне уяву. Одна з таких фігур – це чотирикутник з прямими кутами. У 3 класі загальноосвітніх шкіл починають знайомитися з нею й докладно досліджують її властивості в старших класах. Розглянемо головні характеристики цієї фігури в статті, а також наведемо приклади її використання в побуті.

Як називається з прямими кутами чотирикутник?

Слово “чотирикутник” говорить про те, що розглянута фігура складається з чотирьох кутів. На площині вона буде замкнена тільки в тому випадку, якщо має чотири прямі боку. Якщо протилежні сторони попарно паралельні один одному, то така фігура називається паралелограмом. Його чотири кути попарно рівні, проте вони можуть приймати довільні значення від 0o до 180 o. Якщо всі його кути будуть рівні 90o, то вони називаються прямими. Чотирикутник з прямими кутами – це прямокутник, і одночасно він є паралелограмом.

Прямокутник характеризується всього двома параметрами: довжинами його сусідніх сторін. Далі в статті будемо позначати їх a і b. Якщо ці довжини дорівнюють один одному, то прямокутник вироджується в квадрат.

Формула для площі

Прямокутник – це досконала фігура, під яку людина в ході своєї життєдіяльності намагається підігнати навколишні об’єкти, наприклад цегла, форму подвір’я перед будинком, монітор комп’ютера і так далі. Тому часто виникає задача обчислення площі прямокутника.

Розрахувати площу розглянутої фігури не представляє ніякої складності. Оскільки прямокутник – це паралелограм, то його площа обчислюється як добуток двох довжин: висоти, опущеної на деяку сторону, і цієї сторони. Висота паралелограма знаходиться як добуток синуса одного з його кутів на бік. Оскільки ми розглядаємо конкретний вид паралелограма – прямокутник, то синус прямого кута дорівнює одиниці, це означає, що шукана формула для площі приймає наступний вигляд:

S = a*b

Площа чотирикутника з прямим кутом дорівнює добутку довжин двох непаралельних сторін.

Нижче буде показано, як знайти площу прямокутника, якщо відомі інші його елементи, наприклад довжина діагоналі.

Діагоналі прямокутника

На рисунку зображено довільний чотирикутник з прямими кутами і його дві діагоналі.

Видно, що діагоналі поділяють на дві протилежні частини прямі кути фігури. Будемо позначати точку перетину діагоналей символом C. Вона має важливе значення, оскільки є центром симетрії фігури. Довжини обох діагоналей дорівнюють.

Діагоналі ділять цей прямокутник на чотири рівнобедрених трикутника, для яких легко обчислити довжини сторін і площа. Кожні два трикутника, підстави яких лежать на сторонах рівної довжини прямокутника, є однаковими.

Якщо провести одну діагональ, то вона розділить прямокутник на два абсолютно однакових прямокутних трикутника. Цей факт дозволяє використовувати тиорему Піфагора, щоб розрахувати довжину діагоналі, знаючи катети трикутника. Нижче малюнок показує, як можна знайти квадрат діагоналі c прямокутника. Тут діагональ є гіпотенузою, а сторони прямокутника відповідають катетам трикутника.

Тоді значення довжини c буде дорівнювати:

c = √(a2 + b2)

Симетрія прямокутника

Як було зазначено, центр симетрії – це точка C, утворена пересічними діагоналями. Розглядаючи фігуру на площині, можна сказати, що вісь, через цю точку проходить і паралельна двом сторонам прямокутника, є віссю симетрії другого порядку, тобто поворот навколо неї на 180 o переведе прямокутник сам у себе. Оскільки розглянутий чотирикутник має дві пари паралельних сторін, то очевидно, що він володіє двома зазначеними осями симетрії.

Вісь симетрії ділить фігуру на два однакових прямокутника зі сторонами:

a і b/2 або b і a/2

Деякі геометричні властивості прямокутника

Оскільки розглянута фігура володіє певною симетрією, має прямі кути і попарно паралельні сторони, то для неї можна виділити ряд важливих властивостей, використовуваних на практиці. Перерахуємо їх:

Кожна пряма, яка проходить через центр C фігури, перетинає її в двох точках, що знаходяться на однаковій відстані від точки C. Максимальна відстань від C до боку діагоналі прямокутника дорівнює половині довжини його діагоналі, мінімальне ж відстань дорівнює половині довжини його меншої сторони.

Якщо поділити одну сторону прямокутника точкою навпіл, то, поєднуючи цю точку з вершинами протилежної паралельної боку, отримуємо рівнобедрений трикутник з площею, що дорівнює половині площі прямокутника.

Якщо точку, описану вище, зміщувати з центру боку до одного або іншого її кінця, то равнобедренность зазначеного трикутника буде порушуватися, проте його площа буде залишатися незмінною.

Будь прямокутник можна вписати в коло.

Перше властивість є очевидним, оскільки будь-яка пряма, що проходить через C, буде перетинати паралельні сторони фігури. Доведемо інші властивості.

Доказ властивостей 2, 3 і 4

Розглянемо спочатку властивості 2 і 3. На малюнку нижче показаний прямокутник, на сторонах якого побудовані три трикутники:

ABC1, ABC2 і ABC3

Згідно з формулою знаходження площі трикутника, для них можна записати:

S1 = 1/2*h1*AB;

S2 = 1/2*h2*AB;

S3 = 1/2*h3*AB

Видно, що всі висоти hi розглянутих трикутників дорівнюють довжині сторони h прямокутника. Це означає, що і їх площі дорівнюють:

S1 = S2 = S3

Тепер запишемо формулу для площі S прямокутника і поділимо S на площу одного із зображених трикутників, отримаємо:

S = AB*h;

S/S1 = AB*h/(1/2*h*AB) = 2

Таким чином, прямокутник має площу в два рази більше, ніж будь-який із зображених трикутників, тобто ми довели друге і третє властивості.

Що стосується можливості вписування з прямими кутами чотирикутника в коло, то тут слід міркувати так: проведемо діагоналі фігури, вони перетнуться в точці C. Оскільки ця точка знаходиться на однаковій відстані від чотирьох вершин прямокутника, то вона може служити центром окружності. Якщо радіус кола дорівнює половині довжини діагоналі, то лінія колу пройде через усі чотири вершини прямокутника, тобто він виявиться вписаним в неї.

Чи є чотирикутник, у якого один кут прямий, прямокутником?

Відповідь на питання буде позитивним лише в тому випадку, якщо розглянутий чотирикутник буде паралелограмом. У цьому випадку, якщо один кут дорівнює 90 o, то два інших суміжних кута теж будуть прямими, а значить, четвертий кут теж буде дорівнює 90o. Ми знайшли в чотирикутнику прямі кути все, значить він – прямокутник.

У разі, якщо чотирикутник з одним прямим кутом не буде мати попарно паралельні сторони, то прямокутником він не буде.

Де використовується прямокутник і його властивості?

При виготовленні зошитових аркушів використовують прямокутну форму, причому відношення довжин більшої сторони до меншої одно √2. Така форма фігури призводить до того, що якщо її поділити навпіл симетричної віссю, паралельною більшій стороні, то у утворених двох нових прямокутників відношення сторін також буде дорівнює √2. Такий поділ можна продовжувати до нескінченності, при цьому форма утворюються прямокутників буде зберігатися.

Прямокутна форма використовується при виробництві телевізійних екранів. До ери рідкокристалічних (РК) моніторів використовувалися електронно-променеві екрани, відношення сторін яких дорівнює 4:3. З появою РК-моніторів високого дозволу, стали застосовувати новий стандарт: 16:9.

Мозаїка, з якої прикрашають стіни будинків, також має форму чотирикутника з прямими кутами.

Розрахунок площі фігури за відомою діагоналі

Завершимо статтю розглядом питання обчислення площі чотирикутника, вершини прямих кутів якого з’єднані діагоналлю. Розрахуємо площу сучасного РК-монітора, якщо відомо, що довжина його діагоналі з = 35 див.

Вирішити цю задачу можна тому, що монітор має стандартизоване відношення сторін, рівне 16:9. Позначаючи через x невідомий коефіцієнт, отримуємо довжини сторін монітора:

a = 16*x;

b = 9*x

Тепер застосовуємо формулу для визначення діагоналі, отримуємо:

c2 = a2 + b2 =>

352 = x2*(162+92) =>

x = 35/√(162+92) ≈ 1,9

Тоді сторони монітора і площа його рівні:

a = 16*x = 30,4 см;

b = 9*x = 17,1 см;

S = a*b ≈ 520 см2

Відзначимо ще раз, що визначити за значенням діагоналі площу можна тільки в тому випадку, якщо відомо відношення сторін прямокутника.