Завдання № 3. Чому дорівнює знаменник?

Нехай a1 = 2, знайдіть знаменник геометричної прогресії, за умови, що її нескінченна сума становить 3, і відомо, що це регресний ряд чисел.

За умовою задачі неважко здогадатися, якою формулою слід користуватися для її вирішення. Звичайно ж, для суми прогресії нескінченно спадної. Маємо: S∞ = a1 / (1 – b). Звідки виражаємо знаменник: b = 1 – a1 / S∞. Залишилося підставити відомі значення і отримати необхідне число: b = 1 – 2 / 3 = -1 / 3 або -0,333(3). Можна якісно перевірити цей результат, якщо згадати, що для цього типу послідовності модуль b не повинен виходити за межі 1. Як видно,|-1 / 3| < 1.

Завдання № 4. Відновлення ряду чисел

Нехай дано 2 елементи числового ряду, наприклад, 5-й дорівнює 30 та 10-ї дорівнює 60. Необхідно за цими даними відновити весь ряд, знаючи, що він задовольняє властивостям геометричній прогресії.

Щоб розв’язати задачу, необхідно для початку записати для кожного відомого члена відповідний вираз. Маємо: a5 = b4 * a1 і a10 = b9 * a1. Тепер розділимо другий вираз на перше, отримаємо: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Звідси визначаємо знаменник, взявши корінь п’ятого ступеня від ставлення відомих з умови задачі членів, b = 1,148698. Отримане число підставляємо в одне з виразів для відомого елемента, отримуємо: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Таким чином, ми знайшли, чому дорівнює знаменник прогресії bn, і геометричну прогресію bn-1 * 17,2304966 = an, де b = 1,148698.