Завдання № 1. Обчислення невідомих елементів прогресії та суми

Дана геометрична прогресія, знаменник прогресії 2, а її перший елемент 3. Чому будуть дорівнювати її 7-й і 10-й члени, і яка сума її семи початкових елементів?

Умова задачі складено досить просто і передбачає безпосереднє використання вищеназваних формул. Отже, для обчислення елемента з номером n використовуємо вираз an = bn-1 * a1. Для 7-го елемента маємо: a7 = b6 * a1, підставляючи відомі дані, отримуємо: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогічним чином поступаємо для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.

Скористаємося відомою формулою для суми і визначимо цю величину для 7-ми перших елементів ряду. Маємо: S7 = (27 – 1) * 3 / (2 – 1) = 381.

Завдання № 2. Визначення суми довільних елементів прогресії

Нехай -2 дорівнює знаменник прогресії в геометричній прогресії bn-1 * 4, де n – ціле число. Необхідно визначити суму з 5-го по 10-й елемент цього ряду включно.

Поставлена проблема не може бути вирішена безпосередньо з використанням відомих формул. Вирішити її можна 2-ма різними методами. Для повноти викладу теми наведемо обидва.

Метод 1. Ідея його проста: необхідно розрахувати дві відповідні суми перших членів, а потім відняти з однієї іншу. Обчислюємо меншу суму: S10 = ((-2)10 – 1) * 4 / (-2 – 1) = -1364. Тепер обчислюємо велику суму: S4 = ((-2)4 – 1) * 4 / (-2 – 1) = -20. Зазначимо, що в останньому виразі підсумовувалися тільки 4 доданків, оскільки 5-е вже входить в суму, яку потрібно обчислити за умовою задачі. Нарешті, беремо різницю: S510 = S10 – S4 = -1364 – (-20) = -1344.

Метод 2. Перед тим, як підставляти цифри і вважати, можна отримати формулу для суми між членами m і n розглянутого ряду. Чинимо абсолютно так само, як у методі 1, тільки працюємо спочатку з символьним поданням суми. Маємо: Snm = (bn – 1) * a1 / (b – 1) – (bm-1 – 1) * a1 / (b – 1) = a1 * (bn – bm-1) / (b – 1). В отриманий вираз можна підставляти відомі числа і обчислювати кінцевий результат: S105 = 4 * ((-2)10 – (-2)4) / (-2 – 1) = -1344.