Пересічні площини, кут між ними

Оскільки існує всього два варіанти взаємного розташування площин, достатньо перевірити, чи є вони паралельними чи ні. У разі їх перетину часто виникає необхідність у визначенні відповідного кута. Згідно з визначенням, кутом між розглянутими геометричними об’єктами є кут між нормалями.

Таким чином, вивчаючи питання взаємного розташування площин і кута між площинами, достатньо розрахувати скалярний добуток векторів n1 і n2. Відповідна формула прийме вид:

θ = arccos(|(n1*n2)|/(|n1|*|n2|)).

Кут між площинами θ завжди є гострим, оскільки в чисельнику стоїть модуль скалярного добутку.

Слід зазначити приватний випадок, коли дві площини перетинаються під кутом 90 o. Тоді достатньо обчислити скалярний добуток нормальних векторів. Воно буде рівним нулю.

Пряма і площина

Коротко зупинимося на питанні взаємного розташування прямої та площини у просторі. У тривимірній системі координат найзручніше задавати площину у векторній формі. Вона має вигляд:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ*(a, b, c).

Тут вектор (a, b, c) називається направляючим для прямої. Далі будемо позначати його u.

Існує три способи відносного розташування розглянутих геометричних об’єктів:

• Вони паралельні. Для цього скалярний добуток u і нормалі n площині має бути одно нулю. І ні одна точка прямої не повинна належати площині.
• Пряма лежить у площині. Скалярний добуток u і n також дорівнює нулю. І всі точки прямої лежать у площині.
• Вони перетинаються. У цьому випадку існує єдине число λ, що задовольняє системі рівнянь площини і прямої. Якщо пряма перетинає площину під прямим кутом, тоді її напрямний вектор може бути виражено шляхом множення на деяке число вектора нормалі.