Взаємне розташування площин: необхідні відомості

Площиною називається двовимірний геометричний об’єкт. Він є складовою частиною всіх многогранників. Розглянемо в статті з математичної точки зору, різні варіанти взаємного розташування площин у просторі.

Що називають площиною?

Кожна людина знайомий з цим поняттям, оскільки при вирішенні побутових завдань він часто стикається з ним. Так, говорять про площині стіни, дошки, металевого листа і так далі. У математиці під цим терміном розуміють такий об’єкт, який задовольняє наступним ознаками:

  • Він складається з нескінченної кількості точок.
  • Якщо з’єднати кожну точку по черзі з усіма іншими, то вийде нескінченний набір векторів, причому всі вони будуть перпендикулярні деякого одному вектору. Останній називається нормаллю до площини.

Приклад площини в тривимірному просторі наведено нижче на малюнку.

Рівняння площини

Перш ніж відповідати на питання, яке взаємне розташування площин, необхідно привести математичні вирази, які визначають розглянутий геометричний об’єкт. Почнемо з загального рівняння, яке може бути представлено у наступній формі:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Великі латинські букви тут являють собою прості числа. Маленькі літери — це сукупність координат всіх точок, які задовольняють даному рівнянню (лежать в площині точки).

Наведене вираз зручно використовувати для вирішення багатьох геометричних задач, оскільки в ньому міститься інформація про нормальний вектор n. Координатами n є числа A, B і C.

Наступним рівнянням площини, яке застосовують для рішення завдань, є векторне. Воно виглядає наступним чином:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + α*(a1, b1, c1) + β*(a2, b2, c2).

Наведене вираз виглядає дещо громіздким, проте в ньому немає нічого складного. Перший доданок у правій частині рівності — це координати точки, що лежить у площині, два наступних доданків — це координати лежать у площині векторів. Параметри α і β є незалежними і приймають довільні значення.

Векторне рівняння зручно застосовувати, якщо необхідно отримати параметричне рівняння площини. Крім того, нескладно обчислити координати нормалі до площини. Для цього слід помножити векторно два заданих вектора.

Нарешті, ще одним важливим видом рівняння площини є так зване вираз у відрізках. Воно виглядає так:

x/p + y/q + z/l = 1.

Тут стоять в знаменателях латинські букви p, q і l представляють собою числа, що є відрізками, які відсікає площину при перетині прямокутних осей координат. Звідки і відповідна назва цього виду рівняння. Очевидно, що його зручно застосовувати, якщо необхідно зобразити графічно об’єкт.

Нескладно показати, що всі види записаних рівнянь перетворюються один в одного.

Взаємне розташування площин

Площина — це двовимірний об’єкт. У тривимірному просторі існує всього два принципово відмінних способи взаємного розташування двох площин:

  • вони паралельні один до одного;
  • вони перетинаються.

Дійсно, якщо площини не мають загальних точок, значить, вони ніколи не перетинаються, тобто паралельні. Навпаки, якщо розглянуті об’єкти мають хоча б одну спільну точку, то вони перетинаються. Зазначимо, що геометричним об’єктом, що утворюється в результаті перетину площин, завжди є пряма лінія.

Паралельні площини

Тепер розглянемо докладніше кожен з названих вище випадків. Припустимо, що в загальній формі задані наступні дві площини:

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0;

A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0.

Як зрозуміти, чи є вони паралельними? Зробити це дуже просто. Досить згадати про нормальні вектори. Якщо дві площини паралельні між собою, значить, їх нормалі також паралельні. Випишемо координати нормальних векторів до вказаних площин. Маємо:

n1 = (A1, B1, C1);

n2 = (A2, B2, C2).

Достатньою умовою паралельності n1 і n2 є можливість завдання одного з них через інший. Математично це записується так:

n1 = k*n2.

Де k — деяке (у тому числі від’ємне число. Якщо одну нормаль неможливо виразити шляхом множення координат іншого на число, то такі площини не будуть паралельними.

Приватним випадком паралельності площин є їх повний збіг один з одним. Тоді повинні виконуватися такі умови:

n1 = k*n2 і D1 = k*D2.

Приклад паралельних площин у просторі наведено нижче.

Пересічні площини, кут між ними

Оскільки існує всього два варіанти взаємного розташування площин, достатньо перевірити, чи є вони паралельними чи ні. У разі їх перетину часто виникає необхідність у визначенні відповідного кута. Згідно з визначенням, кутом між розглянутими геометричними об’єктами є кут між нормалями.

Таким чином, вивчаючи питання взаємного розташування площин і кута між площинами, достатньо розрахувати скалярний добуток векторів n1 і n2. Відповідна формула прийме вид:

θ = arccos(|(n1*n2)|/(|n1|*|n2|)).

Кут між площинами θ завжди є гострим, оскільки в чисельнику стоїть модуль скалярного добутку.

Слід зазначити приватний випадок, коли дві площини перетинаються під кутом 90 o. Тоді достатньо обчислити скалярний добуток нормальних векторів. Воно буде рівним нулю.

Пряма і площина

Коротко зупинимося на питанні взаємного розташування прямої та площини у просторі. У тривимірній системі координат найзручніше задавати площину у векторній формі. Вона має вигляд:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ*(a, b, c).

Тут вектор (a, b, c) називається направляючим для прямої. Далі будемо позначати його u.

Існує три способи відносного розташування розглянутих геометричних об’єктів:

  • Вони паралельні. Для цього скалярний добуток u і нормалі n площині має бути одно нулю. І ні одна точка прямої не повинна належати площині.
  • Пряма лежить у площині. Скалярний добуток u і n також дорівнює нулю. І всі точки прямої лежать у площині.
  • Вони перетинаються. У цьому випадку існує єдине число λ, що задовольняє системі рівнянь площини і прямої. Якщо пряма перетинає площину під прямим кутом, тоді її напрямний вектор може бути виражено шляхом множення на деяке число вектора нормалі.

Приклад завдання

Закріпимо отримані знання на прикладі рішення наступної задачі. Задані дві площини наступними рівняннями:

2*x — y + 4 = 0;

(x, y, z) = (0, 1 , 1 ) + α*(0 , 1, 1 ) + β*(2 , 0 , 1 ).

Визначте взаємне розташування площин.

Нормальний вектор для першої відомий. Він має наступні координати:

n1 = (2, -1, 0).

Щоб визначити вектор n2, слід знайти твір лежать у цій площині векторів. Маємо:

n2 = [(0, 1, 1)*(2, 0, 1)] = (1, 2, -2).

Видно, що вектор n2 не може бути отриманий з вектора n1 шляхом множення на число. Цей факт говорить про те, що ці площини перетинаються. Кут перетину можна розрахувати за наведеною вище формулою. Отримуємо:

(n1*n2) = ((2, -1, 0)*(1, 2, -2)) = (2 — 2 + 0 = 0.

Оскільки скалярний добуток дорівнює нулю, значить, площини перетинаються під прямим кутом.