Рівняння площини

Перш ніж відповідати на питання, яке взаємне розташування площин, необхідно привести математичні вирази, які визначають розглянутий геометричний об’єкт. Почнемо з загального рівняння, яке може бути представлено у наступній формі:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Великі латинські букви тут являють собою прості числа. Маленькі літери – це сукупність координат всіх точок, які задовольняють даному рівнянню (лежать в площині точки).

Наведене вираз зручно використовувати для вирішення багатьох геометричних задач, оскільки в ньому міститься інформація про нормальний вектор n. Координатами n є числа A, B і C.

Наступним рівнянням площини, яке застосовують для рішення завдань, є векторне. Воно виглядає наступним чином:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + α*(a1, b1, c1) + β*(a2, b2, c2).

Наведене вираз виглядає дещо громіздким, проте в ньому немає нічого складного. Перший доданок у правій частині рівності – це координати точки, що лежить у площині, два наступних доданків – це координати лежать у площині векторів. Параметри α і β є незалежними і приймають довільні значення.

Векторне рівняння зручно застосовувати, якщо необхідно отримати параметричне рівняння площини. Крім того, нескладно обчислити координати нормалі до площини. Для цього слід помножити векторно два заданих вектора.

Нарешті, ще одним важливим видом рівняння площини є так зване вираз у відрізках. Воно виглядає так:

x/p + y/q + z/l = 1.

Тут стоять в знаменателях латинські букви p, q і l представляють собою числа, що є відрізками, які відсікає площину при перетині прямокутних осей координат. Звідки і відповідна назва цього виду рівняння. Очевидно, що його зручно застосовувати, якщо необхідно зобразити графічно об’єкт.

Нескладно показати, що всі види записаних рівнянь перетворюються один в одного.