Взаємне розташування площин

Площина – це двовимірний об’єкт. У тривимірному просторі існує всього два принципово відмінних способи взаємного розташування двох площин:

• вони паралельні один до одного;
• вони перетинаються.

Дійсно, якщо площини не мають загальних точок, значить, вони ніколи не перетинаються, тобто паралельні. Навпаки, якщо розглянуті об’єкти мають хоча б одну спільну точку, то вони перетинаються. Зазначимо, що геометричним об’єктом, що утворюється в результаті перетину площин, завжди є пряма лінія.

Паралельні площини

Тепер розглянемо докладніше кожен з названих вище випадків. Припустимо, що в загальній формі задані наступні дві площини:

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0;

A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0.

Як зрозуміти, чи є вони паралельними? Зробити це дуже просто. Досить згадати про нормальні вектори. Якщо дві площини паралельні між собою, значить, їх нормалі також паралельні. Випишемо координати нормальних векторів до вказаних площин. Маємо:

n1 = (A1, B1, C1);

n2 = (A2, B2, C2).

Достатньою умовою паралельності n1 і n2 є можливість завдання одного з них через інший. Математично це записується так:

n1 = k*n2.

Де k – деяке (у тому числі від’ємне число. Якщо одну нормаль неможливо виразити шляхом множення координат іншого на число, то такі площини не будуть паралельними.

Приватним випадком паралельності площин є їх повний збіг один з одним. Тоді повинні виконуватися такі умови:

n1 = k*n2 і D1 = k*D2.

Приклад паралельних площин у просторі наведено нижче.