Якщо говорити самим простою мовою, система числення – це спосіб представлення чисел. Ми звикли використовувати при підрахунку метод, основою якого є 10. Інші системи числення, наприклад, мають підставу 16 (шістнадцяткова), 8 (вісімкова) і 2 (двійкова).
Доісторичні часи
Подібно до того, як перші спроби писати з’явилися після розвитку мовлення, перші зусилля по графічному представленню чисел з’явилися після того, як люди навчилися рахувати. Ймовірно, самий ранній спосіб вести підрахунок – це певна система рахунки фізичних об’єктів, таких як галька або палички. Судячи за звичаями нинішніх корінних народів, а також найдавнішим слідах письмових або скульптурних знахідок, найдавніші цифри представляли собою прості надрізи на дощечках, подряпини на камені, позначки на шматку металу і т. п. Не маючи фіксованих одиниць вимірювання, ніяких монет, ніякої торгівлі крім самого примітивного бартеру, ніякої системи оподаткування і ніяких потреб, крім тих, які підтримували життя, люди не потребували письмових цифрах до початку так званих історичних часів.
Перші методи підрахунку
Коли стало необхідно часто підраховувати цифри, що перевищують 10, нумерацію необхідно було систематизувати і спростити; це зазвичай робилося шляхом використання групи або основи групи. Фактично, найбільш ранніми записаними цифрами були прості лінійні знаки для невеликих чисел зі спеціальною формою для 10. Ці символи з’явилися в Єгипті вже 3400 році до нашої ери в Месопотамії вже в 3000 році до нашої ери, на Криті (близько 1200 р. до н. е..) і в Індії (близько 300 р. до н. е..).
Зрозуміло, особливе місце займає число 10 від кількості людських пальців, і це підтверджує сучасне використання цієї основи не тільки в логічній структурі десяткової системи, але і в назвах чисел у багатьох мовах.
Різноманітність методів підрахунку
Проте не слід робити висновок, що 10 є єдиною можливою підставою, або єдиним, фактично використовується. Існує безліч прикладів систем числення. Двійкова, в якій підрахунок здійснюється «один, два, два і один, два і два, два і два і один» і т. д., зустрічається серед найдавніших племен Австралії, у багатьох мовах народів протоки Торреса і прилеглого берега Нової Гвінеї, серед деяких африканських пігмеїв і в різних південноамериканських племен. Корінні народи Вогненної Землі і Південноамериканського континенту використовують числові системи з підставами три і чотири. Система числення з основою п’ять є дуже старою, але в чистому вигляді вона, мабуть, використовується в даний час тільки в деяких племенах в Південній Америці. В інших місцях вона поєднується з десяткової або двадцатеричной системою, де основа дорівнює 20. Аналогічним чином, система, заснована на 6, рідко зустрічається в північно-західній Африці і пов’язана з двенадцатирічня системою з підставою 12.
У ході історичного розвитку десяткова система, нарешті, затьмарила всі інші. Тим не менш, є ще багато інших систем, які використовуються головним чином у комерційних і побутових галузях. Таким чином, основа 12 зустрічається як число дюймів у футах, місяців в році, унцій в фунті і два рази по 12 годин в день, а також як дюжина, що використовується при підрахунку. Підстава 60 зустрічається при вимірі часу і кутів.
Цифрові системи
Першими цифрами були примітивними |, ||, ||| і т. д., наприклад, в Єгипті та Стародавній Греції, або -, =, ≡ і т. д., як у Східній Азії. Такий метод обчислення відповідав простим потребам людей. По мірі ускладнення життя потребу в кількості груп чисел стала очевидною, і це був всього лише невеликий крок від простої системи з найменуваннями тільки для одного і десяти до появи інших спеціальних чисел, на підставі яких можна визначити, скільки систем числення існувало і існує. Іноді цей процес був безсистемним. Наприклад, юкагиры Сибіру вважали «один, два, три, три, один, п’ять, два, три, два, три і один, два чотири, десять з одним пропущеним, десять». Зазвичай, однак, більш регулярна система призводила до того, що більшість цих систем можна класифікувати, принаймні, у загальних рисах, згідно з логічними принципами, що лежать в їх основі.
Прості системи угруповання
Виходячи з свого значення, система числення може розглядатися як метод групування чисел. У чистому вигляді проста система угруповання являє собою призначення особливих імен для невеликих чисел, бази b і її повноважень b2, b3 і т. д., до ступеня bk, достатній для подання чисел, які дійсно необхідні для використання. Проміжні числа потім формуються шляхом додавання, кожен символ повторюється необхідну кількість разів, так само як 23 написано – XXIII – римськими цифрами.
Самий ранній приклад системи числення такого типу – схема, що зустрічається в єгипетських ієрогліфах. Її використовували стародавні єгиптяни для письма на камені.
Позиційні системи числення
До них відносяться ті, в яких позиція (розряд) при запису числа визначає його значення. Система десяткових чисел є прикладом позиційної системи, в якій після того, як база b була прийнята, цифр 1, 2, …, b-1 присвоюються спеціальні імена, а всі більш великі числа записуються як послідовності цих цифр. Вона єдина серед різних систем числення, яка може використовуватися для опису великих чисел. Це обумовлено тим, що кожен з інших видів дає спеціальні імена різними номерами, більшим, ніж b, і для всіх чисел потрібно нескінченне число найменувань. Успіх позиційної системи числення залежить від того, що для довільної бази b кожне число N може бути записано єдиним чином у вигляді:
N = anbn + an – 1bn – 1 + ⋯ + a1b + a0,
де a, an – 1, …, a0 – цифри; тобто числа з групи 0, 1, …, b – 1. Тоді N підставі b може бути представлено послідовністю символів anan – 1 … a1a0. Саме цей принцип використовувався в мультиплікативних системах угруповання. Позиційна система виникає з мультиплікативної просто шляхом виключення імен ступенів b, b2 і т. д. і визначається в залежності від положення цифр для подачі цієї інформації. Однак тоді необхідно використовувати деякий символ нуля, щоб вказати будь-які відсутні повноваження на заснування; інакше 792 може означати, наприклад, або 7M9X2 (тобто 7 092), або 7C9X2 (792).
Розвиток в різних країнах
Прикладом системи числення такого типу є розроблений вавилонянами метод (приблизно 3000-2000 рр. до н. е.). Тут в якості підстави виступило число 60. Така система отримала назву шістдесяткова. З таким великим підставою було б незручно мати незв’язані найменування для цифр 0, 1, …, 59, тому для цих чисел використовувалась проста система угруповання до підстави 10.
В додаток до того, що ця система була громіздкою з-за великого підстави, вавилонська система страждала до самого пізнього часу від відсутності позначення нуля.
В ході попередніх експедицій у Юкатан був виявлений ще один приклад системи числення у майя. Її використовували, в основному, в календарі, не для комерційних або інших обчислень. Це була добре розвинена позиційна система. Її основою було число 20. Цифри 0, 1, …, 19, як і у Вавилоні, утворені простою системою угрупування, в цьому випадку до основи 5.
Ні майянская, ні вавилонська система не є ідеальними для арифметичних обчислень, тому що цифри менше 20 або 60 не були представлені одиничними символами.
Еволюція
Подальший розвиток цієї ідеї пов’язано з індусами, які першими використали нуль в сучасному зображенні. У позиційних системах необхідний деякий символ, щоб відзначити місце, де підстава фактично не зустрічається. Індуси позначали це точкою або невеликим колом, якому було дано ім’я сунья, санскритське слово «порожньо». Потім близько 800 р. н. е. це позначення перейшло до арабів, причому в перекладі значення було збережено у незмінному вигляді. Після цього його ввели латинська мова (близько 1200 року), при цьому вимову збереглося, але значення ігнорувалося. Наступні зміни призвели до сучасного позначенню.
Індусько-арабська система
Існує кілька різних думок щодо походження сучасних західних цифр: зазвичай говорять про їхнє арабське походження, але краще розглядати індусько-арабська. У цьому випадку стверджується, що їх походження пов’язане з арабами, персами, єгиптянами і індусами. Не виключено, що спілкування між торговцями служило можливістю перенесення цих символів з країни в країну, так що сучасні західні цифри можуть відбуватися з різних джерел. Проте, наскільки відомо, країною, яка вперше використала найбільша кількість цих числових форм, є Індія. 1, 4 і 6 знайдені в написах Ашоки (III ст. до н. е..); 2, 4, 6, 7 і 9 з’являються в написах Нани Гат приблизно через століття; і 2, 3, 4, 5, 6, 7 і 9 в печерах Насика 1-го або 2-го століття н. е. Всі ці числа мали форму, у значній мірі схожу з сьогоднішніми.
Переваги, якими володіє досконала система позиціонування, настільки численні і настільки очевидні, що індусько-арабські цифри та підстава 10 були прийняті майже повсюдно. Можна сказати, що це самий близький підхід до універсальної людської мови.
Двійкова система
Однак є область, в якій звична десяткова система не є кращою: комп’ютер. Тут двійкова позиційна система має більше переваг перед десятковою. У цій системі підстава 2 визначає, скільки чисел у двійковій системі числення: тут лише дві цифри – 0 і 1; число два представляється у вигляді 10, так як воно грає ту ж роль, що і десять в десятковій системі.
Двійкове число зазвичай набагато довше його відповідного десяткового числа; наприклад, 256 058 має двійкове подання 111 11010 00001 11010. Двійкова цифра, як одиниця в системі числення, несе менше інформації, ніж десяткова цифра. Причина більшої довжини двійкового числа полягає в тому, що двійкова цифра розрізняє тільки дві можливості: 0 або 1, тоді як десяткова цифра розрізняє 10 можливостей.
Вісімкова та шістнадцяткова системи числення
Їх використання також пов’язано з комп’ютерами і програмуванням.
Більш стара комп’ютерна система числення – вісімкова, де підставою виступає число 8. Цифри, які використовуються в цій системі: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7. Значення «вісім» записується як «1 вісімка і 0 одиниць або 10. Кожне значення позиції відрізняється від сусідньої у вісім разів.
З технічної точки зору, існує дуже багато різних протоколів комп’ютерного мови для вісімковій системи.
Інша система називається шістнадцятковій, оскільки ця система має підставу 16. Діючі шифри включають в себе нормальні десяткові символи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9, а також шість алфавітних символів A, B, C, D, E і F, що, в цілому, становить шістнадцять. Значення кожної позиції відрізняється від попередньої в шістнадцять разів.
Вісімкова і шістнадцяткова системи були б марними, якби не їх здатність легко перетворюватися в двійкову систему і з неї. Їх основна мета полягає в тому, щоб служити «скороченим» методом позначення числа, представленого електронним способом у двійковій формі. Оскільки основи вісімковій (8) і шістнадцятковій (16) систем парні і кратні двійковому основи (2), двійкові біти можуть бути згруповані разом і безпосередньо зроблений переклад чисел в системах числення в вісімкові або шістнадцяткові цифри. При перетворенні у вісімкову систему двійкові біти групуються в три (бо 23 = 8), а в шістнадцятковій – двійкові біти групуються по чотири (тому що 24 = 16).
Аналогічно, переведення чисел в системах числення з вісімковій або шістнадцятковій в двійкову виконується з допомогою кожної вісімковій або шістнадцятковій цифри і перетворення її в еквівалентну двійкову (3 або 4-бітну) групу, а потім об’єднуються всі групи біт.
