Площина, пряма і формула кута їх перетину

Щоб знайти кут між прямою і площиною, достатньо знати рівняння для кожного з цих об’єктів. Кутом між ними називається кут двох пересічних прямих, одна з яких – вихідна, а інша належить площині і є проекцією прямої вихідної на неї. На малюнку нижче показана площину, яку перетинає пряма під кутом α.

Якщо направляючий для прямій позначити вектор v, а нормаль площині – n (див. рис.), то обчислення кута α проводиться за формулою:

α = arcsin(|(v*n)|/(|v|*|n|))

Зауважимо, що в цій формулі, на відміну від аналогічного вирази для двох пересічних прямих, використовується функція арксинуса, а не арккосинуса.

Відстань між прямими на площині і площини і прямої в просторі

Для розрахунку відстані між розглянутими об’єктами в геометрії існує набір формул. Застосування того чи іншого виразу з нього залежить від того, в якому вигляді задана площина і пряма.

Якщо дві прямі задані в загальному вигляді на площині, то відстань між ними можна розрахувати так:

d = |A*x1 + B*y1 + C|/√(A2+B2)

Тут x1 і y1 є координатами довільної точки на одній прямій, а коефіцієнти A, B, C взяті для іншої прямої. Дана формула справедлива, якщо прямі паралельні один одному. Якщо вони перетинаються, то відстань дорівнює нулю.

Відстань між прямою і перетинає її площиною дорівнює нулю. Якщо ж пряма паралельна площині, тоді відповідна дистанція обчислюється так:

d = |A*x1 + B*y1 + C*z1 + D|/√(A2+B2+C2)

Де координати належать довільній точці на прямій.