Пряма в тривимірному просторі

У просторі, описуваному трьома координатними осями, пряма задається в загальному вигляді як перетин площин. Тут же, враховуючи тему статті, розглянемо тільки векторне рівняння. Воно подібно такому для плоского випадку, але з додаванням третьої координати:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(a; b; c)

При вирішенні завдань це вираз зручно розкривати і застосовувати в параметричному вигляді:

x = x0 + λ*a;

y = y0 + λ*b;

z = z0 + λ*c

Відзначимо, що значення параметра λ хоча і є довільним, але буде залежним для всіх трьох рівностей.

Опис площині

Як і для прямого, для площини теж існує ряд способів її визначення. Розглянемо лише два з них, які важливо знати, щоб вміти вирішувати завдання на практиці.

Перший спосіб завдання полягає у приведенні рівняння загального типу. Воно аналогічно відповідним виразом для прямої в двовимірному випадку:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Сукупність перших трьох коефіцієнтів – це координати направляючого вектора для цієї площини. Як правило, його позначають символом n, тобто:

n = (A; B; C)

Четвертий коефіцієнт D визначає відстань, на яке відстоять один від одного паралельні площини, які мають перші три однакових коефіцієнта.

Оскільки вектор n лежить на нормалі до площини, то він перпендикулярний абсолютно будь-якого вектору і прямий, побудованим на її довільних двох точках. Знання координат n є ключовим при визначенні між прямими і площинами кутів.

Другий спосіб визначення площині – це векторно-параметрична форма рівняння. Вона записується таким чином:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(a1; b1; c1) + γ*(a2; b2; c2)

Ця рівність відображає той факт, що дві прямі однозначно задають площину в просторі. Тут другий і третій члени позначають два направляючих вектора для довільних прямі, які належать площині.

Нормальний вектор n не міститься у явному вигляді для цієї форми запису, однак його легко обчислити:

n = [(a1; b1; c1) та(a2; b2; c2)]