Як обчислити кути між прямою і площиною?

При вивченні шкільного курсу геометрії в двовимірному просторі велике час приділяють розгляду поведінки прямих. Коли ж переходять до вивчення стереометрії в старших класах, то на перший план виходять теми площин і прямих у просторі. Дана стаття присвячена одному з таких питань. А саме темі обчислення між площинами і прямими кутів і відстаней.

Пряма на площині та способи задавання

Щоб з успіхом вирішувати задачі обчислення між прямими і площинами кутів і відстаней, необхідно навчитися математично задавати ці геометричні об’єкти, а також оволодіти методами роботи з відповідними рівняннями. Почнемо з постановки прямих на площині.

Кожен школяр знає наступну формулу:

y = k*x + b

Працювати з нею досить зручно в двовимірному просторі. Її легко використовувати, щоб накреслити пряму в прямокутній системі координат. Крім того, знання коефіцієнта k для кожної з них дозволяє сказати, чи вони будуть паралельні, або ж вони перетинаються (для паралельних їх коефіцієнти k дорівнюють).

Якщо записати наведене вираз в дещо іншому вигляді, то вийде формула загального типу для прямої. Її форма наступна:

A*x + B*y + C = 0

Очевидно, що за допомогою простих перетворень можна отримати з неї перше вираження.

Записані формули можна застосовувати також для обчислення кута перетину прямих. Однак для цього необхідно провести ряд перетворень, що є незручним. Тому, коли в задачі потрібно знайти який-небудь кут, краще користуватися векторною формою подання прямій. Її вигляд можна записати так:

(x; y) = (x0; y0) + λ*(a; b)

У цьому рівність координати ікс та ігрек з нульовими індексами описують стан деякої точки, через яку пряма проходить. Значення a і b є координатами вектора, що лежить на ній. Він може бути спрямований в один бік прямої, так і в іншу, пряма від цього не змінюється. Зазначений вектор прийнято називати напрямних, оскільки він однозначно визначає поширення прямої на площині. Лямбда λ — це параметр, який приймає довільне значення з безлічі дійсних чисел.

Звертаємо увагу, що векторна форма запису тим і чудова, що містить явно спрямований відрізок прямої, координати якого використовуються для визначення кута між двома прямими на площині.

Пряма в тривимірному просторі

У просторі, описуваному трьома координатними осями, пряма задається в загальному вигляді як перетин площин. Тут же, враховуючи тему статті, розглянемо тільки векторне рівняння. Воно подібно такому для плоского випадку, але з додаванням третьої координати:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(a; b; c)

При вирішенні завдань це вираз зручно розкривати і застосовувати в параметричному вигляді:

x = x0 + λ*a;

y = y0 + λ*b;

z = z0 + λ*c

Відзначимо, що значення параметра λ хоча і є довільним, але буде залежним для всіх трьох рівностей.

Опис площині

Як і для прямого, для площини теж існує ряд способів її визначення. Розглянемо лише два з них, які важливо знати, щоб вміти вирішувати завдання на практиці.

Перший спосіб завдання полягає у приведенні рівняння загального типу. Воно аналогічно відповідним виразом для прямої в двовимірному випадку:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Сукупність перших трьох коефіцієнтів — це координати направляючого вектора для цієї площини. Як правило, його позначають символом n, тобто:

n = (A; B; C)

Четвертий коефіцієнт D визначає відстань, на яке відстоять один від одного паралельні площини, які мають перші три однакових коефіцієнта.

Оскільки вектор n лежить на нормалі до площини, то він перпендикулярний абсолютно будь-якого вектору і прямий, побудованим на її довільних двох точках. Знання координат n є ключовим при визначенні між прямими і площинами кутів.

Другий спосіб визначення площині — це векторно-параметрична форма рівняння. Вона записується таким чином:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(a1; b1; c1) + γ*(a2; b2; c2)

Ця рівність відображає той факт, що дві прямі однозначно задають площину в просторі. Тут другий і третій члени позначають два направляючих вектора для довільних прямі, які належать площині.

Нормальний вектор n не міститься у явному вигляді для цієї форми запису, однак його легко обчислити:

n = [(a1; b1; c1) та(a2; b2; c2)]

Кут між прямими

Якщо відомі векторні рівності для кожної з прямих, то розрахувати кут між ними не представляє ніякої праці. Для цього потрібно лише використовувати властивості скалярного твори для направляючих відрізків прямих. Якщо напрямні вектори позначити символами v і u, тоді шукана формула прийме вид:

α = arccos(|(v*u)|/(|v|*|u|))

Оскільки в разі перетину прямих утворюється дві пари рівних кутів, то за справжній кут між ними приймають гострий. З цієї причини у формулі присутній знак модуля в чисельнику.

Ця формула для двовимірного випадку справедлива завжди. При цьому отримане значення 0o каже, що прямі не перетинаються, а є паралельними.

Що стосується випадку в просторі, то крім розрахунку за формулою необхідно проводити додаткові обчислення. Вони пов’язані з перебуванням точки перетину розглянутих об’єктів. Справа в тому, що в просторі можна отримати кінцеве значення кута α, але при цьому прямі перетинатися не будуть, оскільки можуть бути мимобіжними.

Площина, пряма і формула кута їх перетину

Щоб знайти кут між прямою і площиною, достатньо знати рівняння для кожного з цих об’єктів. Кутом між ними називається кут двох пересічних прямих, одна з яких — вихідна, а інша належить площині і є проекцією прямої вихідної на неї. На малюнку нижче показана площину, яку перетинає пряма під кутом α.

Якщо направляючий для прямій позначити вектор v, а нормаль площині — n (див. рис.), то обчислення кута α проводиться за формулою:

α = arcsin(|(v*n)|/(|v|*|n|))

Зауважимо, що в цій формулі, на відміну від аналогічного вирази для двох пересічних прямих, використовується функція арксинуса, а не арккосинуса.

Відстань між прямими на площині і площини і прямої в просторі

Для розрахунку відстані між розглянутими об’єктами в геометрії існує набір формул. Застосування того чи іншого виразу з нього залежить від того, в якому вигляді задана площина і пряма.

Якщо дві прямі задані в загальному вигляді на площині, то відстань між ними можна розрахувати так:

d = |A*x1 + B*y1 + C|/√(A2+B2)

Тут x1 і y1 є координатами довільної точки на одній прямій, а коефіцієнти A, B, C взяті для іншої прямої. Дана формула справедлива, якщо прямі паралельні один одному. Якщо вони перетинаються, то відстань дорівнює нулю.

Відстань між прямою і перетинає її площиною дорівнює нулю. Якщо ж пряма паралельна площині, тоді відповідна дистанція обчислюється так:

d = |A*x1 + B*y1 + C*z1 + D|/√(A2+B2+C2)

Де координати належать довільній точці на прямій.

Завдання: визначити між прямою і площиною кут

Дані пряма і площина:

(x; y; z) = (1 ; 2; 0 ) + λ*(-1; 1; 4);

-5*x + y — 3 = 0

Чому дорівнює кут між прямою і площиною?

Випишемо напрямні вектора v і n:

v = (-1; 1; 4);

n = (-5; 1; 0)

Підставимо їх у відповідну формулу для α, отримуємо:

α = arcsin(|5+1+0|/(√18*√26)) ≈ 16,1 o

Завдання: знайти відстань між прямими

Задано два рівняння прямих у двовимірному просторі:

y = 3*x — 1;

y = 3*x + 3

Чому дорівнює відстань між ними?

Оскільки коефіцієнти k для обох об’єктів однакові (рівні 3), то має місце випадок паралельних прямих.

Щоб розрахувати відстань між ними, візьмемо довільну точку першій прямій, а рівняння другий перепишемо у загальному вигляді, маємо:

координати точки (0; -1);

3*x — y + 3 = 0, тобто A = 3, B = -1, C = 3

Тепер ці значення можна підставити у відповідну формулу:

d = |3*0 -1*(-1) + 3|/√(9 +1 ) = 4/√10 ≈ 1,265

Відповідь отримано в одиницях даної координатної системи.