Пояснення

Ця аксиоматизация ні в якому разі не є єдиною або навіть обов’язково найприроднішою. При цьому, ми не звертали уваги на те, слідували деякі аксіоми іншим, а просто вирішили зупинитися, коли помітили, що у нас достатньо законів, які розглядаються далі у розділі за аксиоматизации.

Або проміжне поняття аксіоми можна взагалі обійти стороною, визначивши булев закон як будь-яку тавтологію, розуміємо, як рівняння, яке виконується для всіх значень її змінних, рівних 0 і 1. Можна показати, що всі ці визначення булевої алгебри еквівалентні.

Принцип: якщо {X, R} є набором, то {X, R (зворотний)} також є набором.

Зміни

Одним із змін, яке нам не потрібно було вносити в рамках цього обміну, було доповнення. Ми говоримо, що додаток є самодвойственной операцією, наприклад, «тотожність» або «нічого не робити» x (копіювання введення на вихід) також є такою.

Принцип двоїстості можна пояснити з точки зору теорії груп тим, що існує рівно чотири функції, які є взаємно однозначними відображеннями (автоморфизмами) безлічі булевих многочленів назад в себе:

• одинична;
• доповнення;
• подвійна функція;
• протилежна (доповнена двоїстої).

Ці 4 функції утворюють групу під загальною композицією, изоморфную чотиризначному аналогу Клейна, що діє на множині булевих многочленів. Уолтер Готшалк зазначив, що, отже, більш відповідна назва для цього явища буде принципом (або квадратом) кватернальности. Спори про цих квадратах не вщухають між математиками до сьогоднішнього дня.