Геометрична прогресія, поряд з арифметичної, є важливим числовим рядом, який вивчається в шкільному курсі алгебри в 9 класі. У цій статті розглянемо знаменник геометричної прогресії, і те, як його значення впливає на її властивості.

Визначення геометричної прогресії

Для початку наведемо визначення цього числового ряду. Геометричною прогресією називають такий ряд раціональних чисел, який формується шляхом послідовного множення його першого елемента на постійне число, що носить назву знаменника.

Наприклад, числа в ряду 3, 6, 12, 24, … – це геометрична прогресія, оскільки якщо помножити 3 (перший елемент) на 2, то отримаємо 6. Якщо 6 помножити на 2, то отримаємо 12, і так далі.

Члени розглянутої послідовності прийнято позначати символом ai, де i – це ціле число, яке вказує на номер елемента в рядку.

Наведене вище визначення прогресії можна записати на мові математики наступним чином: an = bn-1 * a1, де b – знаменник. Перевірити цю формулу легко: якщо n = 1, b1-1 = 1, і ми отримуємо a1 = a1. Якщо n = 2, тоді an = b * a1, і ми знову приходимо до визначення розглянутого ряду чисел. Аналогічні міркування можна продовжити для великих значень n.

Знаменник геометричної прогресії

Число b повністю визначає, який характер буде носити весь числовий ряд. Знаменник b може бути позитивний, негативний, а також мати значення більше одиниці або менше. Всі перераховані варіанти призводять до різних послідовності:

• b > 1. Має місце зростаючий ряд раціональних чисел. Наприклад, 1, 2, 4, 8, … Якщо елемент a1 буде негативним, тоді вся послідовність буде зростати тільки за модулем, але спадати з урахуванням знака чисел.
• b < -1. У цьому випадку мова йде про змінному ряді, тобто сусідні елементи будуть відрізнятися знаком. Наприклад, 1, -2, 4, -8, 16, …
• -1 < b < 1. Це особливий випадок, який має власну назву – щербатий нескінченно геометрична прогресія. Її головне властивість полягає в тому, що незалежно від знака знаменника, вона прагне до деякої кінцевої сумі при складанні нескінченного числа її елементів.
• b = 1. Часто такий випадок не називають прогресією, оскільки має місце звичайний ряд однакових раціональних чисел. Наприклад, -4, -4, -4.

Формула для суми

Перед тим як перейти до розгляду конкретних завдань з використанням знаменника розглянутого виду прогресії, слід привести важливу формулу для суми її перших n елементів. Формула має вигляд: Sn = (bn – 1) * a1 / (b – 1).

Отримати цей вираз можна самостійно, якщо розглянути рекурсивні послідовність членів прогресії. Також зауважимо, що в наведеній формулі досить знати тільки перший елемент і знаменник, щоб знайти суму довільного числа членів.

Нескінченно спадна послідовність

Вище було дано пояснення, що вона собою являє. Тепер, знаючи формулу для Sn, застосуємо її до цього числового ряду. Так як будь-яке число, модуль якого не перевищує 1, при зведенні в більші мірі прагне до нуля, тобто b∞ => 0, якщо -1 < b < 1 (|b| < 1), то загальна формула для суми перетвориться в наступне вираз: S∞ = a1 / (1 – b).

Оскільки різниця (1 – b) завжди буде позитивною, незалежно від значення знаменника, то знак суми нескінченно спадної геометричної прогресії S∞ однозначно визначається знаком першого елемента a1.

Тепер розглянемо кілька завдань, де покажемо, як застосовувати отримані знання на конкретних числах.

Завдання № 1. Обчислення невідомих елементів прогресії та суми

Дана геометрична прогресія, знаменник прогресії 2, а її перший елемент 3. Чому будуть дорівнювати її 7-й і 10-й члени, і яка сума її семи початкових елементів?

Умова задачі складено досить просто і передбачає безпосереднє використання вищеназваних формул. Отже, для обчислення елемента з номером n використовуємо вираз an = bn-1 * a1. Для 7-го елемента маємо: a7 = b6 * a1, підставляючи відомі дані, отримуємо: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогічним чином поступаємо для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.

Скористаємося відомою формулою для суми і визначимо цю величину для 7-ми перших елементів ряду. Маємо: S7 = (27 – 1) * 3 / (2 – 1) = 381.

Завдання № 2. Визначення суми довільних елементів прогресії

Нехай -2 дорівнює знаменник прогресії в геометричній прогресії bn-1 * 4, де n – ціле число. Необхідно визначити суму з 5-го по 10-й елемент цього ряду включно.

Поставлена проблема не може бути вирішена безпосередньо з використанням відомих формул. Вирішити її можна 2-ма різними методами. Для повноти викладу теми наведемо обидва.

Метод 1. Ідея його проста: необхідно розрахувати дві відповідні суми перших членів, а потім відняти з однієї іншу. Обчислюємо меншу суму: S10 = ((-2)10 – 1) * 4 / (-2 – 1) = -1364. Тепер обчислюємо велику суму: S4 = ((-2)4 – 1) * 4 / (-2 – 1) = -20. Зазначимо, що в останньому виразі підсумовувалися тільки 4 доданків, оскільки 5-е вже входить в суму, яку потрібно обчислити за умовою задачі. Нарешті, беремо різницю: S510 = S10 – S4 = -1364 – (-20) = -1344.

Метод 2. Перед тим, як підставляти цифри і вважати, можна отримати формулу для суми між членами m і n розглянутого ряду. Чинимо абсолютно так само, як у методі 1, тільки працюємо спочатку з символьним поданням суми. Маємо: Snm = (bn – 1) * a1 / (b – 1) – (bm-1 – 1) * a1 / (b – 1) = a1 * (bn – bm-1) / (b – 1). В отриманий вираз можна підставляти відомі числа і обчислювати кінцевий результат: S105 = 4 * ((-2)10 – (-2)4) / (-2 – 1) = -1344.

Завдання № 3. Чому дорівнює знаменник?

Нехай a1 = 2, знайдіть знаменник геометричної прогресії, за умови, що її нескінченна сума становить 3, і відомо, що це регресний ряд чисел.

За умовою задачі неважко здогадатися, якою формулою слід користуватися для її вирішення. Звичайно ж, для суми прогресії нескінченно спадної. Маємо: S∞ = a1 / (1 – b). Звідки виражаємо знаменник: b = 1 – a1 / S∞. Залишилося підставити відомі значення і отримати необхідне число: b = 1 – 2 / 3 = -1 / 3 або -0,333(3). Можна якісно перевірити цей результат, якщо згадати, що для цього типу послідовності модуль b не повинен виходити за межі 1. Як видно,|-1 / 3| < 1.

Завдання № 4. Відновлення ряду чисел

Нехай дано 2 елементи числового ряду, наприклад, 5-й дорівнює 30 та 10-ї дорівнює 60. Необхідно за цими даними відновити весь ряд, знаючи, що він задовольняє властивостям геометричній прогресії.

Щоб розв’язати задачу, необхідно для початку записати для кожного відомого члена відповідний вираз. Маємо: a5 = b4 * a1 і a10 = b9 * a1. Тепер розділимо другий вираз на перше, отримаємо: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Звідси визначаємо знаменник, взявши корінь п’ятого ступеня від ставлення відомих з умови задачі членів, b = 1,148698. Отримане число підставляємо в одне з виразів для відомого елемента, отримуємо: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Таким чином, ми знайшли, чому дорівнює знаменник прогресії bn, і геометричну прогресію bn-1 * 17,2304966 = an, де b = 1,148698.

Де застосовуються геометричні прогресії?

Якщо б не існувало застосування цього числового ряду на практиці, то його вивчення зводилося б до суто теоретичного інтересу. Але таке застосування існує.

Нижче перераховані 3 найзнаменитіших прикладу:

• Парадокс Зенона, в якому спритний Ахіллес не може наздогнати повільну черепаху, вирішується з використанням поняття нескінченно спадної послідовності чисел.
• Якщо на кожну клітинку шахової дошки класти зерна пшениці, що на 1-у клітку покласти 1 зерно, на 2-ю – 2, на 3-ю – 3 і так далі, то щоб заповнити всі клітини дошки знадобиться 18446744073709551615 зерен!
• У грі “Вежа Ханоя”, щоб переставити диски з одного стрижня на інший, необхідно виконати 2n – 1 операцій, тобто їх кількість зростає у геометричній прогресії від кількості використовуваних дисків n.