Висновок 2-го закону відбиття

Продовжимо робити обчислення попереднього пункту. Як було сказано, тепер необхідно знайти приватну похідну за x. Маємо:

∂(SMP)/∂x = x/√(x2 + yS2 + z2) + (x-xP)/√((x-xP)2+yP2+z2) = 0.

Останнє рівність запишемо у вигляді:

x/SM + (x-xP)/MP = 0 =>

x/SM = (xP-x)/MP.

Отримані відносини в кожній частині рівності – це синуси кутів з вершиною в точках S і P. Якщо відновити тепер нормаль до площини xz через точку M, то зазначені кути будуть відповідати кутах падіння (між SM і нормаллю) і відображення (між MP і нормаллю).

Таким чином, дотримуючись принципу Ферма, ми отримали також 2-й закон відбивання світла.

Висновок закону заломлення Снелла

Тепер покажемо, як можна вивести з принципу Ферма закон заломлення світла. Для цього розглянемо малюнок, схожий на попередній.

Для простоти будемо розглядати випадок в площині xy. Випишемо координати джерела S і приймача P світла, які знаходяться в різних середовищах:

S(xS; yS);

M(x; 0);

P(xP; yP).

Знайдемо невідому координату точки M. Координата y=0 для неї точно відома, оскільки саме на межі середовищ (вісь x) змінюється швидкість поширення світла. Довжини відрізків SM і MP рівні:

SM = √(x-xS)2 + yS2);

MP = √(xP-x )2 + yP2).

Загальний час, який витратить світло на проходження траєкторії SMP, буде дорівнює:

t = SM/v1 + MP/v2.

Тут v1, v2 – швидкості світла у відповідних середовищах. Щоб знайти мінімальний час руху, слід взяти повну похідну за змінною x і прирівняти її до нуля. Отримуємо:

dt/dx = (x-xS)/(√(x-xS)2 + yS2)*v1) – (xP-x)/(√(xP-x)2 + yP2)*v2) = 0 =>

(x-xS)/(SM*v1) = (xP-x)/(MP*v2).

Використовуючи функції синусів кута падіння θ1 і заломлення θ3, отримуємо:

sin(θ1)/v1 = sin(θ3)/v2.

Щоб привести отримане рівність до закону Снелла в зручному вигляді (через показники заломлення середовищ), необхідно помножити ліву і праву частини на швидкість світла c.

Таким чином, застосування принципу Ферма дозволяє легко вивести закони для основних явищ руху світлового променя в прозорих матеріалах.