Формулювання принципу Ферма
П’єр Ферма був одним з відомих математиків і юристів Франції в першій половині XVII століття. Принцип, який носить його прізвище, він сформулював у 1662 році, тобто через півстоліття після відкриття Снеллом свого закону для заломлення.
Коротко принцип Ферма може бути сформульований так: світло при русі в абсолютно будь-яких прозорих середовищах вибирає таку траєкторію, яку він пройде за найменший час.
По суті, ця формулювання нічим не відрізняється від тієї, що зробив Герон Олександрійський півтори тисячі років раніше для відображення явища. Тим не менш француз зробив її спільною для всіх явищ, пов’язаних зі світлом, і показав, як з цього принципу можуть бути отримані закони відбиття і заломлення.
Висновок 1-го закону відбиття
Користуючись принципом Ферма, закони відбивання отримаємо математично. Для цього розглянемо малюнок нижче.
Тут показано, що промінь виходить з точки S, яка лежить на осі y. Потім він відбивається від площини xz у деякої невідомої точці M. Після відображення промінь рухається до точки P, що лежить на площині xy. Вибране положення точок S та P не впливає на спільність подальших міркувань, а лише спрощує математичні викладки.
Отже, запишемо координати кожної точки:
S (0; yS; 0);
M (x; 0; z);
P (xP; yP; 0).
Координати положення точок S та P відомі. Завдання полягає в тому, щоб знайти таку точку M, яка буде відповідати реальної траєкторії SMP, пройденої світловим променем. Також будемо вважати, що цей простір є однорідним, тобто швидкість світла у будь-якій точці є постійною величиною.
Відповідно до принципу Ферма, траєкторію SMP світло пройде за найменший час, якщо вона буде найбільш короткій з усіх можливих. Запишемо її довжину:
SM = √(x2 + yS2 + z2); MP = √((x-xP)2+yP2+z2);
SMP = √(x2 + yS2 + z2) + √((x-xP)2+yP2+z2).
Щоб обчислити мінімальну довжину SMP, необхідно знайти приватні похідні по x і z (невідомі координати точки M) і прирівняти до нуля отримані результати.
Спочатку знайдемо приватну похідну по z. Маємо:
∂(SMP)/∂z = z/√(x2 + yS2 + z2) + z/√((x-xP)2+yP2+z2) = 0.
Це рівняння має єдиний корінь, коли z = 0. Іншими словами, точка M лежить на осі x, тобто в тій же площині, що і точки P і S (площина xy). Звідки випливає, що відновлена нормаль до площини xz, в якій, за умовою задачі, знаходиться точка M, буде лежати разом з SM і MP в одній площині (xy). Це і є 1-й закон відображення.
