Розрахунок значення I для стержня, коли вісь проходить через його кінець

Нехай є однорідний стрижень масою m і довжиною L. Необхідно визначити момент інерції, якщо вісь обертання розташована на кінці стрижня перпендикулярно йому.

Скористаємося загальним виразом для I:

I = ρ*∫V(ri2*dV)

Розбиваючи аналізований об’єкт на елементарні об’єми, зауважимо, що dV може бути записано, як dr*S, де S – площа перерізу стрижня, а dr – товщина елемента розбиття. Підставляючи цей вираз у формулу, маємо:

I = ρ*S*∫L(r2*dr)

Цей інтеграл можна обчислити досить просто, отримуємо:

I = ρ*S* (r3/3)∣0L => I = ρ*S*L3/3

Оскільки обсяг стрижня дорівнює S*L, а маса – ρ*S*L, отримуємо кінцеву формулу:

Цікаво відзначити, що момент інерції для того ж стрижня, коли вісь проходить через його центр мас, в 4 рази менше отриманої величини (m*L2/3/(m*L2/12)=4).