Задача на розрахунок значення I для системи з дискретним розподілом маси

Уявімо собі стрижень завдовжки 0,5 метра, який зроблений з міцного і легкого матеріалу. Цей стрижень, закріплений на осі таким чином, що вона проходить перпендикулярно йому точно посередині. На цей стрижень підвішені 3-й вантажу наступним чином: з одного боку осі є два вантажу масами 2 кг і 3 кг, що знаходяться на відстані 10 см і 20 см від його кінця, відповідно; з іншого боку підвішений один вантаж масою 1,5 кг до кінця стержня. Для цієї системи необхідно розрахувати момент інерції I і визначити, з якою швидкістю ω стрижень буде обертатися, якщо до одного з його кінців прикласти силу 50 М протягом 10 секунд.

Оскільки масою стрижня можна знехтувати, тоді необхідно розрахувати момент I для кожного вантажу і скласти отримані результати, щоб отримати повний момент системи. Згідно умові задачі від осі вантаж масою 2 кг знаходиться на відстані 0,15 м (0,25-0,1), вантаж 3 кг – 0,05 м (0,25-0,20), вантаж 1,5 кг – 0,25 м. Скориставшись формулою для моменту I матеріальної точки, отримуємо:

I = I1+I2+I3 = m1*r12 + m2*r22 + m3*r32 = 2*(0,15)2+3*(0,05)2+1,5*(0,25)2 = 0,14 625 кг*м2.

Звернемо увагу, що при виконанні обчислень всі одиниці вимірювання були переведені в систему СІ.

Щоб визначити кутову швидкість обертання стрижня після дії сили, слід застосувати формулу з моментом сили, яка була наведена у другому пункті статті:

M = I*α

Оскільки α = Δω/T і M = r*F, де r – довжина плеча, отримуємо:

r*F = I*Δω/Δt => Δω = r*F*T/I

Враховуючи, що r = 0,25 м, підставляємо числа у формулу, отримуємо:

Δω = r*F*T/I = 0,25*50*10/0,14625 = 854,7 радий/с

Отримана величина є досить великою. Щоб отримати звичну частоту обертання, слід поділити Δω на 2*pi радіан:

f = Δω/(2*pi) = 854,7/(2*3,1416) = 136 з-1

Таким чином, прикладена сила F до кінця стержня з вантажами за 10 секунд розкрутить його до частоти 136 оборотів в секунду.