Звідки з’являється величина I?

У цьому пункті розглянемо найпростіший приклад обертання: кругове переміщення матеріальної точки масою m, відстань якої від осі обертання дорівнює r. Ця ситуація наведена на малюнку.

Згідно з визначенням, момент імпульсу L записується, як твір плеча r на лінійний імпульс p точки:

L = r*p = r*m*v, оскільки p = m*v

Враховуючи, що лінійна і кутова швидкість пов’язані один з одним через відстань r, це рівність можна переписати так:

v = ω*r => L = m*r2*ω

Добуток маси матеріальної точки на квадрат відстані до осі обертання прийнято називати моментом інерції. Формула вище перепишеться у такому випадку наступним чином:

I = m*r2 => L = I*ω

Тобто ми отримали вираз, який було наведено в попередньому пункті, і ввели у використання величину I.

Загальна формула для величини I тіла

Вираз для моменту інерції матеріальної точки масою m є базовим, тобто воно дозволяє розрахувати цю величину для будь-якого тіла, що має довільну форму і неоднорідний розподіл маси в ньому. Для цього необхідно розбити аналізований об’єкт на маленькі елементи масою mi (ціле число i – номер елемента), а потім помножити кожен з них на квадрат відстані ri2 до осі, навколо якої розглядають обертання, і скласти отримані результати. Описану методику знаходження величини I можна записати математично так:

I = ∑i(mi*ri2)

Якщо тіло розбите таким чином, що i->∞, тоді наведена сума замінюється інтегралом по масі тіла m:

I = ∫m(ri2*dm)

Цей інтеграл еквівалентний іншому інтегралу за обсягом тіла V, оскільки dV=ρ*dm:

I = ρ*∫V(ri2*dV)

Всі три формули використовуються для обчислення моменту інерції тіла. При цьому в разі дискретного розподілу мас в системі краще користуватися 1-му виразом. При безперервному розподілі маси застосовують 3-е вираз.