Приклади розв’язання задач
Розглянемо два приклади алгебраїчної прогресії.
1. Відомо, що 9-й член дорівнює 7, а 21-ї дорівнює 51. Необхідно знайти перших 5 членів арифметичної прогресії.
Умова задачі дозволяє відразу ж розрахувати різницю d, застосовуючи формулу з an am, яка записана вище. Маємо:
d = (an – am) / (n – m) = (51 – 7) / (21 – 9) = 3,667
При отриманні різниці d ми виконали округлення до 3 знаки після коми.
Тепер можна розрахувати перший елемент ряду. Для цього скористаємося даними для 9 члена:
a9 = a1 + d * 8 => a1 = a9 – d * 8 = 7 – 3,667 * 8 = -22,336
Для вирішення завдання залишилося зробити останній крок: послідовно додати 4 рази величину d до першого елемента. Отримуємо:
a1 = -22,336;
a2 = -22,336 + 3,667 = -18,669;
a3 = -18,669 + 3,667 = -15,002;
a4 = -15,002 + 3,667 = -11,335;
a5 = -11,335 + 3,667 = -7,668
Нагадаємо, що всі розраховані значення справедливі до третього знака після коми.
2. Робітники складали спиляні стовбури дерев у вигляді піраміди. Відомо, що вони склали всього 33 колоди, причому до завершення піраміди їм не вистачило всього 3 колоди. Слід визначити, скільки рядів колод склали робітники.
Відповідь на це питання полягає у вирішенні алгебраїчних прогресії, але для того, щоб до нього приступати, необхідно уважно розібратися з цією умовою.
По-перше, оскільки колоди складаються в піраміду, значить, у кожному попередньому ряді було на одну колоду більше, тобто d = 1. По-друге, якщо відомо, що не вистачило до завершення піраміди всього 3 колоди, тоді два верхніх ряду залишилися порожніми:
a1 = 1, a2 = a1 + d = 2, a1 + a2 = 3
Врахуємо ці три колоди, додавши їх до вже 33 складеним, і визначимо невідоме число рядів n, користуючись формулами для суми і n-го члена:
Sn = n * (a1 + an) / 2; an = a1 + d * (n – 1) =>
Sn = n * (a1 + a1 + d * (n – 1)) /2 = (2 * a1 – d) / 2 * n + d * n2 / 2
Підставляємо в останнє рівність відомі дані і вирішуємо отримане квадратне рівняння відносно n:
36 = 0,5 * n + 0,5 * n2 або
n2 + n – 72 = 0
Дискриминант: D = 1 – 4 * 1 * (-72) = 289
Коріння: n = (-1 ± 17) / 2 = (8; -9)
Від’ємне значення відкинемо відразу, оскільки воно суперечить умові задачі. Таким чином, 8 рядів піраміди будуть містити 36 колод. Так як робітники не завершили два верхніх ряду, значить, вони склали 6 рядів колод.
